.
k的函数关系式,再转换为关于?的函数关系式.
解(2): ∵ 关于?的函数关系式,
uuuuruuurpp∴ AM??MB, (0,)?(x1,y1)??[(x2,y2)?(0,)],
22由(1)可知x1?x1???x2,??pp
?y1??(y2?),??22?x2?2pk,x1x2??p2,
?x1???x2,?22由方程组?x1?x2?2pk,可消去x1,x2,p得,??2(2k?1)??1?0.
?2xx??p,?12∵ 0
? , ∴ ??1, 22222(1?sin?)21?sin?故??2k?1?2kk?1=2tan??1?2tan?tan??1?=
cos2?1?sin?4. (与名师对话第51
.
r练) 已知方向向量为v?(1,3)的直线l过点(0,-2)和椭圆
x2y2C:2?2?1 ab(a?b?0)的焦点, 且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.
（1）求椭圆C的方程;
uuuuruuur4（2）是否存在过点E(-2,0)的直线m交椭圆C于M,N,满足:OM?ON? 6 3cot?MON ?0(O为原点)? 若存在,求出直线m的方程;若不存在,请说明理由.
x2y2??1，F是它的左焦点，M6．(与名师对话第52练20) 椭圆C的方程为
189是椭圆C上的一个动点，O为坐标原点.
(1) 求VOFM的重心G的轨迹方程;
(2) 若VOFM的重心G对原点和点P(-2,0)的张角?OGP最大, 求点G的坐标.
解(1): 设点G(x,y) (y?0) , M(x1,y1)由题设可知,F(?3则x2，0)
?x1?3y，y?133, ∴ x1?3x?3，y1?3y,
2（x?1）?y2?1 (y?0). ∴ VOFM的重心G的轨迹方程为
22（x?1）?y2?1的两个焦点.下面证明当点P(-2,0)是椭圆
2(2) 由(1)可知, 原点和点M与椭圆
.
.
2（x?1）?y2?1的短轴的端点重合时张角?OGP最大. 2方法(一) 用椭圆的定义
设椭圆C上的一个动点M到椭圆的两个焦点的距离为r1、r2，则由椭圆的定义可知r1+r2=2
2.
在?MOP中,
r1?r2?OP2COS?OGP?2r1r222r1?r2?4(r1?r2)2?4?2r1r2==
2r1r22r1r2 (当且仅当r122(22)2?4?2r1r244==?2???2?r1r2(r1?r2)22r1r24=0
∴ 当r1?r2时,等于号成立)
?r2,即点
M与短轴的端点重合时张角?OGP最大, 最大角为90,这时点M的坐标为
0(-1,1)、（-1，-1）.
方法(二) 用椭圆的焦半径公式
2（x?1）x22?y2?1,原张角?y?1平移到中心在原点的位置,这时椭圆的方程为将椭圆
22?OGP就是在点P处的两条焦半径的夹角.设点P的坐标为(
x0，y0),则
2222（2?x0）?（2?x0）?4x021122cos?F1PF2?=??x02?[0，2] 1212222?x02）2?（22?x0）（2?x0）（22x0222当x0（0，2]时, cos?F1PF2??0时,cos?F1PF2?0, 当x02?（0，1],
1], 故cos?F1PF2?[0，相应点P的坐标为(-1,?1).
?F1PF2的最大值为900,这时相应点P的坐标为(0,?1),在椭圆的原位置
7. (与名师对话第52练21) 已知动点
P与双曲线
x2y2??1的两个焦点23F1，F2的距
离之和为定值,且cos?F1PF2的最小值为?(1) 求动点P的轨迹方程;
1. 9,求实
uuuuruuur (2) 若已知点D(0,3),点M，N在动点P的轨迹上,且DM??DN.
.
数?的取值范围;
uuuuruuur (3) 若已知点D(1,1), 点M，N在动点P的轨迹上,且MD?DN,求直线
MN的方程.
x2y2??1的两个焦点F1，F2为其焦点 分析: 由题设可知, 动点P的轨迹是以双曲线23的椭圆,因此动点P的轨迹方程可以用待定系数法求得.
x2y2??1的两个焦点F1，F2为其焦点 解(1): 由题设可知, 动点P的轨迹是以双曲线23x2y2的椭圆,设其方程为2?2?1 (a?b?0).
ab可以证明(仿例6)当动点
P在椭圆的短轴的端点时
cos?F1PF2的值最小,这时
2a2?201010122cos?F1PF2??1?, ∴ , a?9. ∴ b?4, 1???2222aaa9x2y2??1. ∴ 动点P的轨迹方程为94uuuuruuur 分析: 由DM??DN可知, 点D,M,N共线, 直线MN的变化可以用其斜率表示(直线的方程为
y?kx?3,这时要
下面用直线方程
k作讨论),也可以用t表44z示(直线的方程为x?t(y?3),这时不需要对t作讨论).
y?kx?3求解.
可知, 点D,M,N共线.
uuuuruuur解法(一): 由DM??DN若直线MN的斜率不存在,则?1?或??5. 5?y?kx?3,若直线MN的斜率存在,设直线MN的方程为y?kx?3,则由方程组?可得,
224x?9y?36,?(9k2?4)x2?54kx?45?0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1?x2??54k45,xx?. 129k2?49k2?4uuuuruuur又由DM??DN可得,
x1??x2,
?54k?54k?45(54k)2?,x?∴ x1?, ∴ ?2222222(1??)9k?4(1??)9k?49k?4(1??)(9k?4).
.
59k2?454?????(9?). ∴
(1??)2324k2324k2∵ ??(54k)2?4?45(9k2?4)?0, ∴ k2?5. 9∴
5?111??, ∴ ???5且??,5, 236(1??)455综上所述,
1???5. 5分析：用点M,N的坐标表示直线MN的变化.
uuuuruuur解法(二): 由DM??DN可知, 点D,M,N共线.
x12y12x22y22??1,??1. 设M(x1,y1),N(x2,y2),则9494uuuuruuur∵ DM??DN, ∴ x1??x2 , y1??y2?3??3,
∴
?2x229(?y2?3??3)2?2x22?2y22???2. ??1,
944(?y2?3??3)2?2y223(2?y2?3??3)(1??)??1??2, ∴ ?1??2,
444∴ ??1或
3(2?y2?3??3)13??51?1??, ?2?y2??2,??0解得???5.
546?y?ax2(a?0),过抛物线C上一点P（x0，y0） (x0?0)作斜率
8. 抛物线C的方程为
为k1，k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点(P、A、B三点各不相同),且满足
k2??k1?0（??0且??-1）.
(1) 求抛物线C的焦点坐标和准线方程;
uuuuruuur(2) 设直线AB上一点M满足:BM??MA,证明线段PM的中点在y轴上;
(3)当??1时,若点P的坐标为(1,-1),求?PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围.
1y(a?0), 故抛物线a1),准线方程为4a分析: 将a看作常量. 解(1): 抛物线C的方程为
x2?C的焦点坐标为(0，y??1. 4a分析: 从形式上看, 线段PM的中点坐标与k1、k2、?相关,而实际上肯定横坐标可以消元为0. .
.
解(2): 由题设可知,直线PA的方程为:
（?y0，?y?k1x?x0）y?k（x?x）?y,由方程组可?1002?y?ax，得,ax2?k1x?k1x0?y0?0,即ax2?k1x?k1x0?ax02?0,
∴ x1?k1k?x0, 同理 x2?2?x0, aauuuuruuur?x1?x2（x1?xM） ∵ BM??MA, ∴ xM?x2??, xM?1?? ∵ k2?（=
k1k?x0）?（2?x0）aa
1????k1?0（??0且??-1）, ∴ xM?-x0,
∴ 线段PM的中点横坐标为0, 即线段PM的中点在分析:
y轴上.
解(3): 由题设和题(2)可知, 抛物线C的方程为
y??x2,
x1??（k1?1）,又??1,故
x2?k1?1,
∴
22A（?（k1?1），-（k1?1））（k1?1，-（k1?1））, B
uuuruuur∴ AB?,AP?, （2k1，4k1）（k1?2，k12?2k1）∵
?PAB为钝角,
P、A、B三点各不相同, ∴
uuuruuurAP?AB?0,即有
（（2k1，4k1）?k1?2，k12?2k1）?0,2k1(k1?2)?4k1(k12?2k1)?0,k1(k1?2)(2k1?1)?0
∴ k1∴ ∴
??2或?1?k1?0, 21?k1?0, 2y1?(k1?1)2, k1??2或?y1??1或?1?y1??r（3，?5）（?2，5）9.已知椭圆C的中心在原点,焦点在X轴上,一条经过点且方向向量为a?的直线l1. 4uuuuruuur交椭圆C于A,B两点,交X轴于M点,又AM?2MB.
(1) 求直线l的方程;
(2) 求椭圆C的长轴长的取值范围. 解(1): 直线l的方程为
y??5（x?3）?5. 2分析: “直线l与椭圆C有两个不同的交点”可以转化为一个关于a，b的不等式,
uuuuruuur向量等式 AM?2MB可以转化为一个关于a，b的等式.
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解析几何经典例题
