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解析几何经典例题
圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用
例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。
图1
解析：易知
故
在中，
。
则点M的轨迹方程为
二、双曲线定义的深层运用
例2. 如图2，为双曲线
的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。
的两焦点，P为其上一动点，从
图2
解析：不妨设P点在双曲线的右支上， 延长F1M交PF2的延长线于N， 则即
，
在
故点M的轨迹方程为
三、抛物线定义的深层运用 例3. 如图3，AB为抛物线短距离。
的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最
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图3
解析：易知抛物线的准线l：，
作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M”
则
即M到直线的最短距离为2
故M到直线y＝－1的最短距离为。
评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地，求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4. ①已知圆为（ ）
（即通径长）时，才能用上述解法。
，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹
图4
②已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆
C. 双曲线 D. 抛物线
解析：①如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|＝|QP|， 而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ| 即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝
故Q的轨迹是以O（0，0）、P为焦点 长轴长为2的椭圆。应选B。
②同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。 五、椭圆与双曲线定义的综合运用
例5. 如图5，已知三点A（－7，0），B（7，0），C（2，－12）。①若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；②若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。
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图5
解析：①由椭圆定义知，|AP|＋|AC|＝|BP|＋|BC|， 即 故P的轨迹为A（－7，0）、B（7，0）为焦点 实轴长为2的双曲线的一支，
其方程为；
②经讨论知，无论A在双曲线的哪一支上 总有|QA|＋|QB|＝|AC|＋|BC|＝28＞|AB|＝14
故点Q的轨迹为以A（－7，0）、B（7，0）为焦点
长轴长为28的椭圆，其方程为［练习］
。
为焦点，
为其顶点，若P为两曲线
1. 已知椭圆E的离心率为e，左、右焦点为F1、F2，抛物线C以的公共点，且
，则e＝__________。
答案：
2. 已知⊙O：，一动抛物线过A（－1，0）、B（1，0）两点，且以圆的切线为准线，求动抛物线的焦点F的轨迹方程。
答案：
圆锥曲线中的方法与运算
1. (与名师对话第51练) 已知抛物线
y2?2x?1,点A(2,0), 问是否存在过点A的直线
l,
使抛物线上存在不同的两点关于直线l对称,如果存在, 求出直线l的斜率k的取值范围; 如果不存在,请说明理由.
分析: 这是一个求变量(斜率k)的取值范围问题, 我们必须给出与变量(斜率k)相关的变量(根据题设寻找)的关系式(组), 显然,这个关系式(组)应由按题设揭示出的几何条件转换得到.
我们由题设揭示出的几何条件是: 抛物线上关于直线l对称的不同的两点所在直线必须与抛物线有两个不同的交点,并且交点为端点的线段的中点在直线l上. 相应得到一个不等式和一个等式组成的变量关系式(组). 解这个关于式组即可得变量k的取值范围. 解: 设直线l的方程为
y?k(x?2),若k?0,则结论显然成立,即k?0可取.若k?0,
1?y??x?m,1?2则直线PQ的方程为y??x?m, 由方程组? 可得,y?2y?2kb?1?0. kk?y2?2x?1,?.
解析几何经典例题
