高中辅助角公式的教学
一、教材中隐藏的辅助角公式模型 1. 辅助角公式在教材中的出现
《高中数学必修4人教A版》教材P132练习第6题以化简的形式出现，使得形如（是明确给出的实数）的4个式子都能化简成一个角的三角函数形式，继而教材在P144习题3.2 B组第6题，提出：是否能用表示函数的最大值和最小值？其本质就是问：形如能否化为一个角的三角函数形式？下面引用教材中的P132练习第6题（2）式，稍作探讨。[1] 例1
化简：（1）；（2）
分析：在刚学习了两角和与差的正弦公式之后，观察（1）式的结构，注意到两个数值比较特殊，容易想到将，，从而拼凑成之和的正弦公式；再者，只需（2）式提个2倍出来便得（1）式，所以可做如下解答. 解： （2）
可见， （1）、（2）式都可以化为一个角的三角函数形式. 那么，一般地，形如是否都可以化为一个角的三角函数形式呢？
二、形如可化为一个角的一个三角函数的形式的理论证明
思考辅助角公式在教材的位置，观察非常符合的结构，那么自然而然想到两个向量的数量积.推理如下： 证明：构造，则有： ， （）
即 （为之间的夹角） （I）
由（I）式可得一定可以化成一个角的三角函数形式.考虑到三角变换。 则 （II）
说明：构造是考虑到可以利用单位圆的性质，先定再定。 三、确定的值（数形结合）
1.在平面直角坐标系中，设，如示意图1所示，点在单位圆上；则总有一个角且，它的终边经过点.依据必修4中P13右上角的小知识，可设，由三角函数的定义知：[2] 可令 所以
.（其中） （III） 此时对比（II）式可设 .
说明：（III）式与教材必修四P125―P125利用向量法推导两角差的余弦公式的过程非常符合。
2.在平面直角坐标系中，注意到点与到原点的距离相等.因此一定有一个角且的终边经过点，依据必修4中P13右上角的小
知识，同样可设，由三角函数的定义知： 令 所以
.（其中） （IV） 此时对比（II）式可设 . 四、辅助角的范围
前面论述当中，首先设定了，主要是基于三角函数诱导公式的性质，这为我们的研究带来了便利.在中，通过示意图2可知点的位置决定了角所在的象限，的具体位置由和共同决定，并可由计算出值.
类似地，中，通过示意图1可知点的位置决定了角所在的象限，的具体位置由和共同决定，并可由计算出值.注意：通常. 五、一点实用技巧
实际使用中由于教材对正弦函数着墨较多，学生更喜欢或更习惯选择使用这种形式.但在计算过程中容易忽视的象限由确定，而直接套用计算出值，另外考虑到学生对特殊角三角函数值的记忆要求.可先对常数的正负进行处理，即将的系数调整成正值后再化简，因为确保的范围限制在区间上，而在该区间上是单调递增的，所以值可以唯一确定，方便运算和的取值。 结语
引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式.在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，有时也需结合
高中辅助角公式的教学-2019年精选文档
