石油大学数学物理方程试卷A答案

再由定解条件可得C??y26y6U?p,y???4?4

ppp

6 4，p第三步：取Laplace逆变换得原定解问题的解

-----------------------------------------2分

u?x,y??xy2?x3y?x3

七、计算题（本题12分）计算下面定解问题：

2??u2?u??t?a?x2?sin?x, ???ux?0?ux?1?0, ??ut?0?utt?0?0,??0?x?1, t?0t?00?x?l.

解：步骤一 特征函数系

??sinn?x?n?1----------------------------------------------------------------------2分

在特征函数系下展开：u(x,t)??vn(t)sinn?x,n?1?sin?x??fnsinn?x

n?1??1,f?其中n?0,???nn?1n?1n?1n?1 则：

2?nn?v?sinn?x???(n?a)v(t)sinn?x??fn?1sinn?x，

--------------------------4分 步骤二得到常微分方程并进行求解 即得：vn?(t)?(n?a)2vn(t)?fn 又由初始条件得：vn(0)?0 解得：n?1时，vn(t)?0，

n?1时，

v1(t)?1?(?a)2t(1?e)(?a)2

-----4分

步骤三问题的最终解

----------------------------------------

所

u(x,t)?v1(t)sin?x?以，

1?(?a)2t(1?e)sin?x------------------------------(?a)2----2分