第二步：求解特征值问题
-----------------------------------------------------5分
1) 若??0，方程的通解形式为：X(x)?Ae??x?Be???x
由定解条件知A?0,B?0，从而X(x)?0，不符合要求。
2) 若??0，方程的通解形式为：X(x)?Ax?B
由边界条件知A?0,，从而X(x)?B。
3) 若??0，方程的通解形式为：X(x)?Acos?x?Bsin?x
代入边界条件得
???B?0, ?B?0, ????Asin???0, ??????n?2, n?1,2,... 从而得特征值问题的一系列特征值及相应的特征函数
?????(n)2n, n?0,1,2,3,...?A ?Xn(x)?ncosnx, n?0,1,2,3,...将每特征值?n代入函数T(t)满足的方程可得出相应的解
T0?t??C0??D0?t
Tn?t??Cn?cosnat?Dn?sinnat,n?1,2,...第三步：叠加，确定叠加----------------------------------------------5分
??u(x,t)??un(x,t)?C0?D0t??(Cncosnat?Dnsinnat)cosnx n?0n?1???C0??Cncosnx?2x由初始条件得：??n?1 ????D0??Dnnacosnx?0n?1系数
?C0??,n?0,1,2,?2?4?n?C?2xcosnxdx??1?1????n2?? ?0n?????Dn?0,n?0,1,2,3故原方程的解为
u(x,t)????4?n?1?1?cosnatcosnx ??2??n?1n??
四、计算题（本题12分）设???x???,t?0，用行波法求解下列初值问
??2u?2u?2u?3?t2?2?x?t??x2?0?题：?.
?u?u?3x2,?0t?0??tt?0?
（一）、求特征线，做特征变换：-----------------------------6分
问题中方程对应的特征方程为：3?dx??2dtdx??dt??0 则可得特征线为：3x?t?C1以及x?t?C2
???3x?t做特征变换?
??x?t?22则原方程可化为：u???0
（二）、积分求“通解” ------------------ ----------------------------------------------2分
u?f1(?)?f2(?)也即u?f1(3x?t)?f2(x?t)
（三）、由定解条件，确定未知函数
-------------------------------------------------------4分
2??f1(3x)?f2(x)?3x由定解条件：?
???f1?(3x)?f2?(x)?0?x23f(x)??C??144解得：?
33?f(x)?x2?C2??44所以，u(x,y)?f1(3x?t)?f2(x?t)?(3x?t)2?(x?t)2
1434
五、（本题15分）用Green函数法求解边值问题：
??2u?2u?2u?2?2?2?0,y?2,???x,z???, ??x?y?z?u|???x,z?,???x,z???.y?2?解9分
：（一）、用电像法求格林函数
在y?2的空间M0(x0,y0,z0)上放一正单位点电荷，M0在边界上产生的电位为
14?rMM0。M0关于边界y?2的对称点记作M1，在M1处放置电量为q负
y?2电荷，其在边界上的电位为
q4?rMM1。
y?2a) M1的坐标为M1(x0,4?y0,z0)
b) 为了使边界x?2上的电位为零，也即
rMM0|y?2?rMM1|y?2，所以q?1
14?rMM0?y?2q4?rMM1，由于
y?2c)由于函数：
1在y?2内调和，在y?2上具有连续的一阶偏导数，则得格林4?rMM11G?M,M0??4??11???? ?rMM0rMM1???1?1?????1??4????x?x0???y?y0???z?z0?对
格
林
函
222?x?x0???y?4?y0???z?z0?求
法
向
导
222（3分
?G?n二）、数数
?y?2?G?y?y?2y0?22?1??x?x0?2??2?y0?2??z?z0?2???32
（3分
三）、求解
y0?2?????Gu?M0???????y,z?ds?x??2?n2???????
1??x?x0?2??2?y0?2??z?z0?2???32??y,z?dydz
六、计算题（本题12分）
用积分变换法求解下面问题（提示：
??2u?3x2,x?0,y?1???x?y. ?u|?1,x?0y?1??u|?y2,y?1?x?0）：
解：
第一步：通过Laplace变换将原问题化为常微分方程定解问题 ------------------ 6分
由题意知，需取关于时间x取拉普拉斯变换，记U(p,y)?L[u(x,y)]，对原问
2?d(pU(p,y)?u(0,y))?3 3?dyp?题取拉普拉斯变换可得 ?
1?U?p,1???p?第二步：解此常微分方程定解问题
------------------------------------ ---------------4分 上常微分方程的通解为
y26yU?p,y???4?C
pp
石油大学数学物理方程试卷A答案
