相交于点O，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝AP＝3，三棱锥P－ACD的体积为9.
(1)求AD的值；
(2)过点O的平面α平行于平面PAB，平面α与棱BC，AD，PD，PC分别相交于点E，F，G，H，求截面EFGH的周长．
解 (1)在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，
四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝AP＝3， 11AB×AD3AD
所以V三棱锥P－ACD＝×S△ACD×AP＝××AP＝＝9，解得AD＝6.
3322
(2)方法一 由题意知平面α∥平面PAB，平面α∩平面ABCD＝EF，点O在EF上，平面PAB∩平面ABCD＝AB，
根据面面平行的性质定理，得EF∥AB， 同理EH∥BP，FG∥AP.
因为BC∥AD，所以△BOC∽△DOA， 且
BCCO31
＝＝＝. ADOA62
CEOC1
因为EF∥AB，所以＝＝.
BCAC3
又易知BE＝AF，AD＝2BC，所以FD＝2AF. FGFD22
因为FG∥AP，所以＝＝，FG＝AP＝2.
APAD33EHEC1
因为EH∥BP，所以＝＝，
PBBC31
所以EH＝PB＝2.
3
如图，作HN∥BC，GM∥AD，HN∩PB＝N，GM∩PA＝M，
则HN∥GM，HN＝GM，
所以四边形GMNH为平行四边形， 所以GH＝MN， 在△PMN中，
MN＝PN2＋PM2－2×PN×PM×cos∠MPN
21
＝8＋1－2×22cos 45°＝5， 又EF＝AB＝3，
所以截面EFGH的周长为EF＋FG＋GH＋EH＝3＋2＋5＋2＝5＋5＋2.
方法二 因为平面α∥平面PAB，平面α∩平面ABCD＝EF，点O在EF上，平面PAB∩平面ABCD＝AB，
所以EF∥AB，同理EH∥BP，FG∥AP.
因为BC∥AD，AD＝6，BC＝3，所以△BOC∽△DOA，且
BCCO1
＝＝， ADAO2
EO11CHEHCO1所以＝，CE＝CB＝1，BE＝AF＝2，同理＝＝＝，
OF23PCPBCA3如图，连接HO，则HO∥PA，
所以HO⊥EO，HO＝1， 1
所以EH＝PB＝2，
3
OCOB1
因为AD∥BC，所以＝＝.
AODO2FDOD2
因为EF∥AB，所以＝＝.
DABD3FGFD2
因为FG∥AP，所以＝＝，
APDA32
所以FG＝PA＝2，
3
过点H作HN∥EF交FG于点N，则GH＝HN2＋GN2＝5， 又EF＝AB＝3，
所以截面EFGH的周长为EF＋FG＋GH＋EH＝3＋2＋5＋2＝5＋5＋2.
22
2024届高考步步高数学(理)一轮复习(京津鲁琼用解析版)第八章 8.3
