温州市普通高中高考适应性测试
数学试题 2019年11月
一、选择题：每小题4分，共40分
1. 已知全集U??1,2,3,4?，A??1,3?，eUB??2,3?，则AIB?（ ）
A．?1? 【答案】A 【解析】
由题意得：A?{1，3},B?{1，4},A?B?{1}.
?x?0?2. 设实数x,y满足不等式组?y?0，则z?x?2y的最大值为（ ）
?3x?4y?12?0?B．?3? C．?4? D．?1,3,4?
A．0 【答案】D 【解析】
B．2 C．4 D．6
由题意得：我们可以画出线性区域，线性区域是一个三角形，最值点在线性区域的三个端点处取得。
?4，?0，0?，0?，3?，所以我们知道在?0，3?取得最大值：z?6 我们联立方程得：?0，3. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（ ）
1A．cm3
61B．cm3
31C．cm3
22
D．cm3
3
11正视图11侧视图俯视图
【答案】B
1
x2y24. 若双曲线C2?2?1?a?0,b?0?的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
ab A．y??2x B．y??2x C．y??2x 21D．y??x2
【答案】A 【解析】 由题意得：e?3,为 y??2xc?3,设c?3m,a?m，则b?c2?a2?2m，所以渐近线方程a
5. 已知a，b是实数，则“a?1且b?1”是“ab?1?a?b”的（ ）
A．充分不必要条件 也不必要条件 【答案】A 【解析】
由题意得：充分条件满足，必要条件：当a??2,b??4时，ab?1?a?b不一定可以推导出“a?1且b?1” 所以A为正确选项。 6. 函数f?x??B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分
12的图象可能是（ ） ?x?1x?1yyyy1-1O1x1-1O1x1-1O1x1-1O1xABCD
【答案】B 【解析】
2
先求定义域：x?1且x??1，取特殊值，当x??2，y??1，排除C，D.函数3y??x?3，
(x?1)(x?1)当x??3，y?0.所以正确答案是B。
7. 在四面体ABCD中，△BCD是等边三角形，?ADB?则?的取值范围是（ ） ???A．?0,?
?6????B．?0,?
?4????C．?0,?
?3????D．?0,?
?2??2，二面角B?AD?C的大小为?，
ABCD
【答案】C
8. 已知随机变量?满足P???0??1?p，P???1??p，其中0?p?1，令随机变量
????E???，则（ ）
A．E????E??? 【答案】D
B．E????E??? D．D????D???
C．
D????D???x2y29.如图，P为椭圆E1:2?2?1?a?b?0?上的一动点，过点P作椭圆
abx2y2E2:2?2???0???1?的两条
ab切线PA，PB，斜率分别为k1，k2．若k1?k2为定值，则??（ ）
3
A．
1 4B．2 4C．
1 2D．2 2y【答案】C
A【解析】设过P（x0,y0）的直线方程：y?y0?k(x?x0)， 直线方程与椭圆E2联立可得：b2x2?a2kx??y0?kx0?PBOx???ab222?0
化简：b2?a2k2x2?2ka2?y0?kx0?x?a2?y0?kx0??a2b2??0
2??因为相切，△=0化简：?y0?kx0??b2??a2k2??0，
2在整理成关于k的二次函数，x0?a2?k2?2x0y0k?y0?b2??0有两个不相等的实数根，
?2?2y0?b2?1?k1k2?2常数，在化简得到 ???22x0?a?
9. 已知数列?xn?满足x1?2，xn?1?2xn?1?n?N*?，给出以下两个命题：命题p：对任
意n?N*，都有1?xn?1?xn；命题q：存在r??0,1?，使得对任意n?N*，都有xn?rn?1?1．则（ ）
2A．p真，q真 假 【答案】B 【解析】
B．p真，q假 C．p假，q真 D．p假，q 4
命题p：对任意n?N*，都有1?xn?1?xn；为真命题，命题q：存在r??0,1?，使得对任意n?N*，都有xn?rn?1?1为假命题。
二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分
10. 若复数z满足?2?i?z??1?2i?，其中i为虚数单位，则z? ，
z? ．
2【答案】-1?2i,5 【解析】由题意得：?2?i?z??1?2i??z??1?2i 11. 直线
xy??1与x轴、y轴分别交于点A，B，则AB? ；以线段AB为直422
z?5
径的圆的方程为 ．
22【答案】25;x?y?4x?2y?0
【解析】由题意得：AB?4?16?25
22AB中点坐标为?2,1?，半径为5；所以圆的方程：?x?2??(y?1)?5
12. 若对x?R，恒有x7?a??1?x??a0?a1x?L?a5x5?a6x6?，其中a,a0,a1,L,a5,a6?R，
则a? ，a5? ．
【答案】1，-1
13. 如图所示，四边形ABCD中，AC?AD?CD?7，?ABC?120?，sin?BAC?则△ABC的面积为 ，BD? ． 【答案】4,8
53，14ABDC
5
14. 学校水果店里有苹果、香蕉、石榴、橘子、葡萄、西梅6种水果，西梅数量不多，只够
一人购买．甲、乙、丙、丁4位同学前去购买，每人只选择其中一种，这4位同学购买后，恰好买了其中3种水果，则他们购买水果的可能情况有 种． 【答案】600
【解析】分两种情况：
3232212（1）水果中无西梅C5C4A3?360；（2）水果中有西梅C5C4C2A2?240。合计600
15. 已知平面向量a，b，c满足a?1，b?3，a?b?0，c?a与c?b的夹角为
c??b?a?的最大值为 ．
?，则6【答案】5
16. 设函数f?x??x3?x?a?3，若f?x?在??1,1?上的最大值为2，则实数a所有可能的
取值组成的集合是 ．
{?3,5?【答案】
2323,1?}99
6
三、解答题：5小题，共74分
17. （本题满分14分）在锐角．．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b?3，
sinA?asinB?23．
（1）求角A的值；
???（2）求函数f?x??cos2?x?A??cos2x（x??0,?）的值域．
?2??33???,【答案】（1）.3(2).?42? ??【解析】
(Ⅰ)由正弦定理，得asinB?bsinA?3sinA，则sinA?asinB?4sinA?23，得
sinA?3， 2又A为锐角，故A??； 32???1?cos?2x????3?1?cos2x?2?2?(Ⅱ)f(x)?cos?x???cosx?3?22? ?1?333?????sin2x?cos2x??sin?2x??， 2?2223???因0≤x≤???2?3???于是?≤2x?≤?≤sin2x?，故，??≤1，因此
233323??33?≤f?x?≤， 42?33?即f(x)的值域为??,?. 42??18. （本题满分15）如图，已知四棱锥P?ABCD，BC∥AD，平面PAD?平面PBA，且
DP?DB，AB?BP?PA?AD?2BC．
（1）证明：AD?平面PBA；
7
（2）求直线AB与平面CDP所成角的正弦值． 【解析】
（I）证明：分别取PA，PB的中点M，N，连结AN，DN，BM.
因DP?DB，N为PB的中点， 故PB?DN. 同理，PB?AN，BM?PA.
故PB?平面DNA. 故PB?AD.
因平面PAD?平面PBA，平面PADI平面PBA?PA，
BM?平面PBA，BM?PA，
故BM?平面PAD. 则BM?AD.
又PB，BM是平面PBA中的相交直线， 故AD?平面PBA. （II）法一：设直线
AB和DC交于点Q，连结PQ，则
PQ?PA.
因面ADP?面ABP，故PQ?面PAD， 则面PQD?面PAD.
取PD的中点G，连结AG，QG，则AG?面PQD， 所以?AQG就是直线AB与平面PCD所成角.
不妨设AB?2，则在Rt?AGQ中，AG=2，AQ?4， 故sin?AQG?AGAQ?24， 所以直线AB与平面PCD所成角的正弦值为
24. 法二：由（I）知，AD?面ABP，又BC∥AD， 故BC?面PAB.
8
DCPMANBDGCPABQzDCxPABy
如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系， 不妨设AB?2，则A(0,0,0)，B(1,3,0)，C(1,3,1)，
D(0,0,2)，P(2,0,0)，
则AB?(1,3,0)，CD?(?1,?3,1)，PD?(?2,0,2). 设n?(x,y,z)是面PCD的一个法向量， uuur????x?3y?z?0，?n?CD?0，则?uuu，即?， r?2x?2z?0????n?PD?0uuuvuuuvuuuv取x=1，则n?(1,0,1).
设直线AB与平面PCD所成的角为?，
uuuvuuuv|AB?n|12则sin??|cos?AB,n??v|uuu??，
|AB|?|n|1?31?14所以直线AB与平面PCD所成角的正弦值为2. 419. （本题满分15）已知等差数列?an?的首项a1?1，数列2an的前n项和为Sn，且S1?2，
??S2?2，S3?2成等比数列．
（1）求通项公式an；
aa?1?an（2）求证：?n?n?L?n??1?（n?N*）；
?n?aaan?12n??1【解析】
2an?1a?ad（I）记d为{an}的公差，则对任意n?N，a?2n?1n?2，
2n?即{2n}为等比数列，公比q?2?0.
由S1?2，S2?2，S3?2成等比数列，得(S2?2)?(S1?2)(S3?2)， 即[2(1?q)?2]?(2?2)[2(1?q?q)?2]，解得q?2，即d?1.
?所以an?a1?(n?1)d?n，即an?n(n?N)；
ad222 9
（II）由（I），即证：111n??L??n(1?)(n?N?).
n?112n下面用数学归纳法证明上述不等式. ①当n?1时，不等式显然成立；
②假设当n?k(k?N)时，不等式成立，即?111k ??L??k(1?)，
k?112k则当n?k?1时，因
1111k1. ??L???k(1?)?k?112kk?1k?1k1k?1k2?2k?k2?2k?1[k(1?)?]?k?1(1?)??0，
k?1k?2k?1k?2故k(1?k1k?1)??k?1(1?). k?1k?2k?1于是1111k?1??L???k?1(1?)，
(k?1)?112kk?1即当n?k?1时，不等式仍成立. 综合①②，得111n??L??n(1?)(n?N?).
n?112n所以
aa1ann(?n?L?n)?1?(n?N?) na1a2ann?120. （本题满分15）如图，F是抛物线y2?2px?p?0?的焦点，过F的直线交抛物线于
A?x1,y1?，B?x2,y2?两点，其中y1?0，y1y2??4．过点A作y轴的垂线交抛物线的准
线于点H，直线HF交抛物线于点P，Q． （1）求p的值；
（2）求四边形APBQ的面积S的最小值．
yHPOFBQxA【解析】
（I）易得直线AB的方程为(y1?y2)y?2px?y1y2，
10
代入(p,0)，得y1y2??p2??4，所以p?2； 22yy12y2（II）点A(,y1)，B(,y2)，则H(?1,y1)，直线PQ:y??1(x?1)，
4422代入y?4x，得y1x?(2y1?16)x?y1?0.
22224(y12?4)设P(x3,y3)，Q(x4,y4)，则|PQ|?x3?x4?2?. 2y1设A，B到PQ的距离分别为d1，d2，由PQ:y1x?2y?y1?0，得
2y13y1y2y13|?2y1?y1?(?2y2?y1)||?y1?(?y2?2y2?y1)|4d1?d2?4?4?22y1?4y1?4
|y?2y1?y2|4?2y1?431y134|?2y1?|4y1y?421?(y12?4)24y1y?421，
因此SAPBQ(y12?4)51. ?|PQ|?(d1?d2)?322y1(x2?4)54(x2?4)4(x2?6)设函数f(x)?， (x?0)，则f'(x)?x6x7可得，当x?(0,6)时，f(x)单调递减；当x?(6,??)时，f(x)单调递增，
从而当y1?6时，S取得最小值12f(6)?2515． 921. （本题满分15）已知实数a?0，设函数f?x??eax?ax．
（1）求函数f?x?的单调区间；
（2）当a?1a时，若对任意的x???1,???，均有f?x??x2?1，求a的取值范围． 22??注：e?2.71828L为自然对数的底数． 【解析】
（I）由f?(x)?a?e?a?a(e?1)=0，解得x?0．
11
axax
①若a?0，则当x?(0,??)时，f?(x)?0，故f(x)在(0,??)内单调递增； 当x?(??,0)时，f?(x)?0，故f(x)在(??,0)内单调递减．
②若a?0，则当x?(0,??)时，f?(x)?0，故f(x)在(0,??)内单调递增； 当x?(??,0)时，f?(x)?0，故f(x)在(??,0)内单调递减． 综上所述，f(x)在(??,0)内单调递减，在(0,??)内单调递增． （II）f(x)≥a2a． (x?1)，即eax≥(x?1)2（﹡）
22a1令x?0，得1≥，则?a≤2．
22当x??1时，不等式（﹡）显然成立，
当x?(?1,??)时，两边取对数，即ax≥2ln(x?1)?ln令函数F(x)?2ln(x?1)?ax?lna恒成立． 2a，即F(x)≤0在(?1,??)内恒成立． 222?a(x?1)2由F?(x)??a?=0，得x??1??1．
x?1x?1a22故当x?(?1,?1)时，当x?(?1 F?(x)?0，F(x)单调递增；F?(x)?0，，+?)时，
aaF(x)单调递减.
2aa?2?a?ln?a?2?ln． a22a1令函数g(a)?a?2?ln，其中?a≤2，
221a?1则g?(a)?1???0，得a?1，
aa1故当a?(,1)时，g?(a)?0，g(a)单调递减；当a?(1,2]时，g?(a)?0，g(a)单
2因此F(x)≤F(?1)?2ln调
递增．
2a13?0，g(2)?0，
221故当?a≤2时，g(a)≤0恒成立，因此F(x)≤0恒成立，
21a即当?a≤2时，对任意的x?[?1,??)，均有f(x)?(x2?1)成立
22又g()?ln4?
12
浙江省温州市2020届高三上学期11月份高考适应性测试一模数学试题 含解析
