温州市普通高中高考适应性测试
数学试题 2019年11月
一、选择题:每小题4分,共40分
1. 已知全集U??1,2,3,4?,A??1,3?,eUB??2,3?,则AIB?( )
A.?1? 【答案】A 【解析】
由题意得:A?{1,3},B?{1,4},A?B?{1}.
?x?0?2. 设实数x,y满足不等式组?y?0,则z?x?2y的最大值为( )
?3x?4y?12?0?B.?3? C.?4? D.?1,3,4?
A.0 【答案】D 【解析】
B.2 C.4 D.6
由题意得:我们可以画出线性区域,线性区域是一个三角形,最值点在线性区域的三个端点处取得。
?4,?0,0?,0?,3?,所以我们知道在?0,3?取得最大值:z?6 我们联立方程得:?0,3. 某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积等于( )
1A.cm3
61B.cm3
31C.cm3
22
D.cm3
3
11正视图11侧视图俯视图
【答案】B
1
x2y24. 若双曲线C2?2?1?a?0,b?0?的离心率为3,则该双曲线的渐近线方程为( )
ab A.y??2x B.y??2x C.y??2x 21D.y??x2
【答案】A 【解析】 由题意得:e?3,为 y??2xc?3,设c?3m,a?m,则b?c2?a2?2m,所以渐近线方程a
5. 已知a,b是实数,则“a?1且b?1”是“ab?1?a?b”的( )
A.充分不必要条件 也不必要条件 【答案】A 【解析】
由题意得:充分条件满足,必要条件:当a??2,b??4时,ab?1?a?b不一定可以推导出“a?1且b?1” 所以A为正确选项。 6. 函数f?x??B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分
12的图象可能是( ) ?x?1x?1yyyy1-1O1x1-1O1x1-1O1x1-1O1xABCD
【答案】B 【解析】
2
先求定义域:x?1且x??1,取特殊值,当x??2,y??1,排除C,D.函数3y??x?3,
(x?1)(x?1)当x??3,y?0.所以正确答案是B。
7. 在四面体ABCD中,△BCD是等边三角形,?ADB?则?的取值范围是( ) ???A.?0,?
?6????B.?0,?
?4????C.?0,?
?3????D.?0,?
?2??2,二面角B?AD?C的大小为?,
ABCD
【答案】C
8. 已知随机变量?满足P???0??1?p,P???1??p,其中0?p?1,令随机变量
????E???,则( )
A.E????E??? 【答案】D
B.E????E??? D.D????D???
C.
D????D???x2y29.如图,P为椭圆E1:2?2?1?a?b?0?上的一动点,过点P作椭圆
abx2y2E2:2?2???0???1?的两条
ab切线PA,PB,斜率分别为k1,k2.若k1?k2为定值,则??( )
3
A.
1 4B.2 4C.
1 2D.2 2y【答案】C
A【解析】设过P(x0,y0)的直线方程:y?y0?k(x?x0), 直线方程与椭圆E2联立可得:b2x2?a2kx??y0?kx0?PBOx???ab222?0
化简:b2?a2k2x2?2ka2?y0?kx0?x?a2?y0?kx0??a2b2??0
2??因为相切,△=0化简:?y0?kx0??b2??a2k2??0,
2在整理成关于k的二次函数,x0?a2?k2?2x0y0k?y0?b2??0有两个不相等的实数根,
?2?2y0?b2?1?k1k2?2常数,在化简得到 ???22x0?a?
9. 已知数列?xn?满足x1?2,xn?1?2xn?1?n?N*?,给出以下两个命题:命题p:对任
意n?N*,都有1?xn?1?xn;命题q:存在r??0,1?,使得对任意n?N*,都有xn?rn?1?1.则( )
2A.p真,q真 假 【答案】B 【解析】
B.p真,q假 C.p假,q真 D.p假,q 4
命题p:对任意n?N*,都有1?xn?1?xn;为真命题,命题q:存在r??0,1?,使得对任意n?N*,都有xn?rn?1?1为假命题。
二、填空题:单空题每题4分,多空题每题6分
10. 若复数z满足?2?i?z??1?2i?,其中i为虚数单位,则z? ,
z? .
2【答案】-1?2i,5 【解析】由题意得:?2?i?z??1?2i??z??1?2i 11. 直线
xy??1与x轴、y轴分别交于点A,B,则AB? ;以线段AB为直422
z?5
径的圆的方程为 .
22【答案】25;x?y?4x?2y?0
【解析】由题意得:AB?4?16?25
22AB中点坐标为?2,1?,半径为5;所以圆的方程:?x?2??(y?1)?5
12. 若对x?R,恒有x7?a??1?x??a0?a1x?L?a5x5?a6x6?,其中a,a0,a1,L,a5,a6?R,
则a? ,a5? .
【答案】1,-1
13. 如图所示,四边形ABCD中,AC?AD?CD?7,?ABC?120?,sin?BAC?则△ABC的面积为 ,BD? . 【答案】4,8
53,14ABDC
5
14. 学校水果店里有苹果、香蕉、石榴、橘子、葡萄、西梅6种水果,西梅数量不多,只够
一人购买.甲、乙、丙、丁4位同学前去购买,每人只选择其中一种,这4位同学购买后,恰好买了其中3种水果,则他们购买水果的可能情况有 种. 【答案】600
【解析】分两种情况:
3232212(1)水果中无西梅C5C4A3?360;(2)水果中有西梅C5C4C2A2?240。合计600
15. 已知平面向量a,b,c满足a?1,b?3,a?b?0,c?a与c?b的夹角为
c??b?a?的最大值为 .
?,则6【答案】5
16. 设函数f?x??x3?x?a?3,若f?x?在??1,1?上的最大值为2,则实数a所有可能的
取值组成的集合是 .
{?3,5?【答案】
2323,1?}99
6
三、解答题:5小题,共74分
17. (本题满分14分)在锐角..△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b?3,
sinA?asinB?23.
(1)求角A的值;
???(2)求函数f?x??cos2?x?A??cos2x(x??0,?)的值域.
?2??33???,【答案】(1).3(2).?42? ??【解析】
(Ⅰ)由正弦定理,得asinB?bsinA?3sinA,则sinA?asinB?4sinA?23,得
sinA?3, 2又A为锐角,故A??; 32???1?cos?2x????3?1?cos2x?2?2?(Ⅱ)f(x)?cos?x???cosx?3?22? ?1?333?????sin2x?cos2x??sin?2x??, 2?2223???因0≤x≤???2?3???于是?≤2x?≤?≤sin2x?,故,??≤1,因此
233323??33?≤f?x?≤, 42?33?即f(x)的值域为??,?. 42??18. (本题满分15)如图,已知四棱锥P?ABCD,BC∥AD,平面PAD?平面PBA,且
DP?DB,AB?BP?PA?AD?2BC.
(1)证明:AD?平面PBA;
7
(2)求直线AB与平面CDP所成角的正弦值. 【解析】
(I)证明:分别取PA,PB的中点M,N,连结AN,DN,BM.
因DP?DB,N为PB的中点, 故PB?DN. 同理,PB?AN,BM?PA.
故PB?平面DNA. 故PB?AD.
因平面PAD?平面PBA,平面PADI平面PBA?PA,
BM?平面PBA,BM?PA,
故BM?平面PAD. 则BM?AD.
又PB,BM是平面PBA中的相交直线, 故AD?平面PBA. (II)法一:设直线
AB和DC交于点Q,连结PQ,则
PQ?PA.
因面ADP?面ABP,故PQ?面PAD, 则面PQD?面PAD.
取PD的中点G,连结AG,QG,则AG?面PQD, 所以?AQG就是直线AB与平面PCD所成角.
不妨设AB?2,则在Rt?AGQ中,AG=2,AQ?4, 故sin?AQG?AGAQ?24, 所以直线AB与平面PCD所成角的正弦值为
24. 法二:由(I)知,AD?面ABP,又BC∥AD, 故BC?面PAB.
8
DCPMANBDGCPABQzDCxPABy
如图,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系, 不妨设AB?2,则A(0,0,0),B(1,3,0),C(1,3,1),
D(0,0,2),P(2,0,0),
则AB?(1,3,0),CD?(?1,?3,1),PD?(?2,0,2). 设n?(x,y,z)是面PCD的一个法向量, uuur????x?3y?z?0,?n?CD?0,则?uuu,即?, r?2x?2z?0????n?PD?0uuuvuuuvuuuv取x=1,则n?(1,0,1).
设直线AB与平面PCD所成的角为?,
uuuvuuuv|AB?n|12则sin??|cos?AB,n??v|uuu??,
|AB|?|n|1?31?14所以直线AB与平面PCD所成角的正弦值为2. 419. (本题满分15)已知等差数列?an?的首项a1?1,数列2an的前n项和为Sn,且S1?2,
??S2?2,S3?2成等比数列.
(1)求通项公式an;
aa?1?an(2)求证:?n?n?L?n??1?(n?N*);
?n?aaan?12n??1【解析】
2an?1a?ad(I)记d为{an}的公差,则对任意n?N,a?2n?1n?2,
2n?即{2n}为等比数列,公比q?2?0.
由S1?2,S2?2,S3?2成等比数列,得(S2?2)?(S1?2)(S3?2), 即[2(1?q)?2]?(2?2)[2(1?q?q)?2],解得q?2,即d?1.
?所以an?a1?(n?1)d?n,即an?n(n?N);
ad222 9
(II)由(I),即证:111n??L??n(1?)(n?N?).
n?112n下面用数学归纳法证明上述不等式. ①当n?1时,不等式显然成立;
②假设当n?k(k?N)时,不等式成立,即?111k ??L??k(1?),
k?112k则当n?k?1时,因
1111k1. ??L???k(1?)?k?112kk?1k?1k1k?1k2?2k?k2?2k?1[k(1?)?]?k?1(1?)??0,
k?1k?2k?1k?2故k(1?k1k?1)??k?1(1?). k?1k?2k?1于是1111k?1??L???k?1(1?),
(k?1)?112kk?1即当n?k?1时,不等式仍成立. 综合①②,得111n??L??n(1?)(n?N?).
n?112n所以
aa1ann(?n?L?n)?1?(n?N?) na1a2ann?120. (本题满分15)如图,F是抛物线y2?2px?p?0?的焦点,过F的直线交抛物线于
A?x1,y1?,B?x2,y2?两点,其中y1?0,y1y2??4.过点A作y轴的垂线交抛物线的准
线于点H,直线HF交抛物线于点P,Q. (1)求p的值;
(2)求四边形APBQ的面积S的最小值.
yHPOFBQxA【解析】
(I)易得直线AB的方程为(y1?y2)y?2px?y1y2,
10
代入(p,0),得y1y2??p2??4,所以p?2; 22yy12y2(II)点A(,y1),B(,y2),则H(?1,y1),直线PQ:y??1(x?1),
4422代入y?4x,得y1x?(2y1?16)x?y1?0.
22224(y12?4)设P(x3,y3),Q(x4,y4),则|PQ|?x3?x4?2?. 2y1设A,B到PQ的距离分别为d1,d2,由PQ:y1x?2y?y1?0,得
2y13y1y2y13|?2y1?y1?(?2y2?y1)||?y1?(?y2?2y2?y1)|4d1?d2?4?4?22y1?4y1?4
|y?2y1?y2|4?2y1?431y134|?2y1?|4y1y?421?(y12?4)24y1y?421,
因此SAPBQ(y12?4)51. ?|PQ|?(d1?d2)?322y1(x2?4)54(x2?4)4(x2?6)设函数f(x)?, (x?0),则f'(x)?x6x7可得,当x?(0,6)时,f(x)单调递减;当x?(6,??)时,f(x)单调递增,
从而当y1?6时,S取得最小值12f(6)?2515. 921. (本题满分15)已知实数a?0,设函数f?x??eax?ax.
(1)求函数f?x?的单调区间;
(2)当a?1a时,若对任意的x???1,???,均有f?x??x2?1,求a的取值范围. 22??注:e?2.71828L为自然对数的底数. 【解析】
(I)由f?(x)?a?e?a?a(e?1)=0,解得x?0.
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axax
①若a?0,则当x?(0,??)时,f?(x)?0,故f(x)在(0,??)内单调递增; 当x?(??,0)时,f?(x)?0,故f(x)在(??,0)内单调递减.
②若a?0,则当x?(0,??)时,f?(x)?0,故f(x)在(0,??)内单调递增; 当x?(??,0)时,f?(x)?0,故f(x)在(??,0)内单调递减. 综上所述,f(x)在(??,0)内单调递减,在(0,??)内单调递增. (II)f(x)≥a2a. (x?1),即eax≥(x?1)2(﹡)
22a1令x?0,得1≥,则?a≤2.
22当x??1时,不等式(﹡)显然成立,
当x?(?1,??)时,两边取对数,即ax≥2ln(x?1)?ln令函数F(x)?2ln(x?1)?ax?lna恒成立. 2a,即F(x)≤0在(?1,??)内恒成立. 222?a(x?1)2由F?(x)??a?=0,得x??1??1.
x?1x?1a22故当x?(?1,?1)时,当x?(?1 F?(x)?0,F(x)单调递增;F?(x)?0,,+?)时,
aaF(x)单调递减.
2aa?2?a?ln?a?2?ln. a22a1令函数g(a)?a?2?ln,其中?a≤2,
221a?1则g?(a)?1???0,得a?1,
aa1故当a?(,1)时,g?(a)?0,g(a)单调递减;当a?(1,2]时,g?(a)?0,g(a)单
2因此F(x)≤F(?1)?2ln调
递增.
2a13?0,g(2)?0,
221故当?a≤2时,g(a)≤0恒成立,因此F(x)≤0恒成立,
21a即当?a≤2时,对任意的x?[?1,??),均有f(x)?(x2?1)成立
22又g()?ln4?
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浙江省温州市2020届高三上学期11月份高考适应性测试一模数学试题 含解析
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