量子力学考研参考试题（一）
一. （见1997年第二题）证明：
????JJ（1） 若一个算符与角动量算符的两个分量对易，则其必与的另一个分量对易；
2??JMJJ （2） 在与z的共同本征态
??JJx下，与y的平均值为零，且当M?J?J?Jy的不确定性为最小。 x时，测量与
证明：
?（1） 设算符F??JJ与角动量算符x及y皆对易，即
则
?F?,J????F?,J???0xy
1???1???1?????F,Jz?F,Jx,Jy?F,JxJy?F,JyJx?0i?i?i?
?J???JJ??同理可知，若算符F与角动量算符x及z皆对易，则算符F必与y对易；若算符F与角动量算符
?????Jy???????J及z皆对易，则算符F?J必与x对易，于是，问题得证。
??JJy的平均值为 x下，与
?2JM?JJ （2）在与z的共同本征态
由升降算符的修正可知
1???J?JMJMJxJM?JMJ??2
于是有
?JM??J(J?1)?M(M?1)JM?1J??JM?0JMJx下的平均值也未零。在
同理可证，算符
?Jy
在
JMJM态上，
同理可得
12???J?J??J?JM?JMJxJM?JMJ????411?????2?J?2JM?JMJ?J??J?J?JM?JMJ421J(J?1)?M2?22
?????? 故有
12?JMJyJM?J(J?1)?M2?22
????Jx????Jx?22
或者写为
1224?J(J?1)?M?4
?? 显然，当
M?J时，上式取最小值
1?Jx??Jy?J(J?1)?M2?22
??J2??Jx??Jy?min??2
2?p??H?V?x?02? 二. （见2001年第二题）粒子作一维运动，当总能量算符为时，
0En，如果总能量算符变成能级是
严格解
?p??H?H0???（?为实参数）
，求粒子能级的
En。
解：视
?为参变量，则有
???Hp????
利用费曼-海尔曼定理可知
又知
??En?H1?n?nn?np?????
在任何束缚态
2??1?dx11p?????p?????x,H???p?x,dti?i???2??
??n下，均有
所以，
dx11???H?xn?0nn?nx,Hn?nxHdti?i?
??
进而得到能量本征值满足的微分方程
?n???np
对上式作积分，得到
?En??????
??H?H??00，定出积分常数 利用时，
0c?En
最后，得到
?2En???c2?
?H的本征值为
三. 一维谐振子的哈密顿算符为
?2En?E?2?0n
引入无量纲算符，
2?p1?H??m?2x22m2
??Q
m?x???P；
1?pm????a；
1??iP???Q2；
??a?1??iP???Q2（1） 计算
?,P???a?,a???a?,a?a???a??Q??
?，，，
??a?,a?；
????aa（2） 将H用与表示，并求出全部能级。
解：
（1）计算对易关系
??
?m?1??Q,P??x,m?????1????x,p???ip??
??1??1???1??1???,a???aQ?iP,Q?iP??Q,?iP?iP,Q?122?2?2
??
（2）改写哈密顿算符
?a?,a?a???a??a?,a????a?,a??a??a???????
????????a?,a??a???a???a?,a????a?,a???a??a???
2?p1122?2??2?QH??m?x???P2m22??
而
?所以，有
1??1??1?2?2i??1?2?2?a??aQ?iPQ?iP?Q?P?Q,P?Q?P?122222
1?????a???H????a2? ???????????
下面求解上述哈密顿算符满足的本征方程。
?对任何态矢
，均有
因此，
?a???a??a?2?0
1??H????2
???E???HEEE若是哈密顿算符的本征态，则，即
1E???2
1??上式说明能量的下限为2。
??作用H?的任意一个本征态用Ha?E'可知
????a?,a?a?????a????a?,H?上，利用
若
'???????E'Ha?E'?aH??? a?E'?E???a，则其为哈密顿算符的另一个本征态，相应的本征值为E?'???
??E'?0a???。
重复这个推理的过程，得到
E,E???,E?2??,?''都是哈密顿算符的本征
值，由于，本征值不能小于
1??2EE???0，，此数列必须终止于某个最小值即0不再是能量本征值，其条件为
因此，
??E0?0a
1??1???a????E0????E0H?E0????a2?2?
湖北大学量子力学考研参考试题及解
