.
类别 类型 人数 A 足球 B C D 篮球 E 排球 6 F 其他 2
羽毛球 乒乓球 10 4 根据以上信息，解答下列问题：
（1）被调查的学生中，最喜欢乒乓球的有 人，最喜欢篮球的学生数占被调查总人数的百分比为 %；
（2）被调查学生的总数为 人，其中，最喜欢篮球的有 人，最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为 %；
（3）该校共有450名学生，根据调查结果，估计该校最喜欢排球的学生数．
解：（1）由题可得：被调查的学生中，最喜欢乒乓球的有4人，最喜欢篮球的学生数占被调查总人数的百分比为32%． 故答案为：4；32；
（2）被调查学生的总数为10÷20%=50人，最喜欢篮球的有50×32%=16人，最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比=故答案为：50；16；24；
（3）根据调查结果，估计该校最喜欢排球的学生数为
×450=54人．
×100%=24%；
四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）
21．甲、乙两名学生练习打字，甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同．已知甲平均每分钟比乙少打20个字，求甲平均每分钟打字的个数．
解：设甲平均每分钟打x个字，则乙平均每分钟打（x+20）个字，根据题意得：经检验，x=60是原分式方程的解． 答：甲平均每分钟打60个字．
22．【观察】1×49=49，2×48=96，3×47=141，…，23×27=621，24×26=624，25×25=625，26×24=624，27×23=621，…，47×3=141，28×2=96，49×1=49． 【发现】根据你的阅读回答问题：
（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为 ；
（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是 ． 【类比】观察下列两数的积：1×59，2×58，3×57，4×56，…，m×n，…，56×4，57×3，58×2，59×1．
.
=，解得：x=60，
.
猜想mn的最大值为 ，并用你学过的知识加以证明． 解：【发现】（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为625． 故答案为：625；
（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是a+b=50． 故答案为：a+b=50；
【类比】由题意，可得m+n=60，将n=60﹣m代入mn，得mn=﹣m+60m=﹣（m﹣30）+900，∴m=30时，mn的最大值为900． 故答案为：900．
23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC． （1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．
2
2
解：（1）如图，连接BD．∵∠BAD=90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°． ∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°．
∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE． ∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线； （2）∵DE∥AC．
∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，∴CB=AB=8，AF=CF=AC． ∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CDE=∠CBD． ∵∠DCE=∠BCD=90°，∴△BCD∽△DCE，∴同理：△CFD∽△BCD，∴
，∴
，∴，∴CF=
，∴CD=4．在Rt△BCD中，BD=，∴AC=2AF=
．
=4
五、解答题（本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分）
24．如图1，直线AB与x轴、y轴分别相交于点A、B，将线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到AC，连接BC，将△ABC沿射线BA平移，当点C到达x轴时运动停止．设平移距离为m，平移后的图形在x轴下方部分的
.
.
面积为S，S关于m的函数图象如图2所示（其中0＜m≤a，a＜m≤b时，函数的解析式不同）． （1）填空：△ABC的面积为 ； （2）求直线AB的解析式；
（3）求S关于m的解析式，并写出m的取值范围．
解：（1）
结合△ABC的移动和图2知，点B移动到点A处，就是图2中，m=a时，S=S△A'B'D=，点C移动到x轴上时，即：m=b时，S=S△A'B'C'=S△ABC=． 故答案为：，．
（2）如图2，过点C作CE⊥x轴于E，∴∠AEC=∠BOA=90°． ∵∠BAC=90°，∴∠OAB+∠CAE=90°．
∵∠OAB+∠OBA=90°，∴∠OBA=∠CAE，由旋转知，AB=AC，∴△AOB≌△CEA，∴AE=OB，CE=OA，由图2知，点C的纵坐标是点B纵坐标的2倍，∴OA=2OB，∴AB=5OB，由（1）知，S△ABC==AB=×5OB，∴OB=1，∴OA=2，∴A（2，0），B（0，1），∴直线AB的解析式为y=﹣x+1； （3）由（2）知，AB=5，∴AB=
2
2
2
2
2
，①当0≤m≤时，如图3．
，由运动知，AA'=m，∴
，
∵∠AOB=∠AA'F，∠OAB=∠A'AF，∴△AOB∽△AA'F，∴∴A'F=m，∴S=AA'×A'F=m，②当同①的方法得：A'F=m，∴C'F=
2
＜m≤2时，如图4
﹣m，过点C作CE⊥x轴于E，过点B作BM⊥CE于E，∴BM=3，CM=1，
易知，△ACE∽△FC'H，∴，∴
∴C'H=．在Rt△FHC'中，FH=C'H=
由平移知，∠C'GF=∠CBM．
∵∠BMC=∠GHC'，∴△BMC∽△GHC'，∴
，∴
.
.
∴GH=，∴GF=GH﹣FH=
×
=﹣（2
﹣m），即：
2
∴S=S△A'B'C'﹣S△C'FG=﹣×
S=．
25．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：
如图1，△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且∠BAC=2∠DCB，求证：AC=AD． 小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法： 方法1：如图2，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E． 方法2：如图3，作∠DCF=∠DCB，与AB相交于点F． （1）根据阅读材料，任选一种方法，证明AC=AD． 用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：
.
.
（2）如图4，△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，且∠BDE=2∠ABC，点F在BD上，且∠AFE=∠BAC，延长DC、FE，相交于点G，且∠DGF=∠BDE． ①在图中找出与∠DEF相等的角，并加以证明；
②若AB=kDF，猜想线段DE与DB的数量关系，并证明你的猜想．
解：（1）方法一：如图2中，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E．
∵∠CAE=∠DAE，∠CAB=2∠DCB，∴∠CAE=∠CDB． ∵∠CDB+∠ACD=90°，∴∠CAE+∠ACD=90°，∴∠AEC=90°． ∵AE=AE，∠AEC=∠AED=90°，∴△AEC≌△AED，∴AC=AD． 方法二：如图3中，作∠DCF=∠DCB，与AB相交于点F．
∵∠DCF=∠DCB，∠A=2∠DCB，∴∠A=∠BCF． ∵∠BCF+∠ACF=90°，∴∠A+∠ACF=90°，∴∠AFC=90°． ∵∠ACF+∠BCF=90°，∠BCF+∠B=90°，∴∠ACF=∠B． ∵∠ADC=∠DCB+∠B=∠DCF+∠ACF=∠ACD，∴AC=AD． （2）①如图4中，结论：∠DEF=∠FDG．
理由：在△DEF中，∵∠DEF+∠EFD+∠EDF=180°．在△DFG中，∵∠GFD+∠G+∠FDG=180°．∵∠EFD=∠GFD，∠G=∠EDF，∴∠DEF=∠FDG． ②结论：BD=k?DE．
.
2020届中考模拟大连市2018年中考数学模拟试卷(含参考答案)(Word版)
