含参数的极值点偏移
含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元x1,x2的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.★例1.已知函数f(x)?x?aex有两个不同的零点x1,x2，求证：x1?x2?2.不妨设x1?x2，记t?x1?x2，则t?0,et?1，et?12(et?1)
?2?t?t?0，因此只要证明：t?te?1e?1再次换元令et?x?1,
t?lnx，即证lnx?2(x?1)
，F(1)?0x?12(x?1)
?0,x?(1,??)x?1构造新函数F(x)?lnx?
'14(x?1)2??0，得F(x)在(1,??)上递增，求导F(x)??
x(x?1)2x(x?1)2所以F(x)?0，因此原不等式x1?x2?2获证.1★例2.已知函数f(x)?lnx?ax，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1,x2，证明：x1?x2?e2.
法二：利用参数a作为媒介，换元后构造新函数：不妨设x1?x2，∵lnx1?ax1?0,lnx2?ax2?0，∴lnx1?lnx2?a(x1?x2),lnx1?lnx2?a(x1?x2)，∴lnx1?lnx2?a，欲证明x1x2?e2，即证lnx1?lnx2?2.x1?x2
2
，x1?x2
∵lnx1?lnx2?a(x1?x2)，∴即证a?
∴原命题等价于证明lnx1?lnx2x2(x1?x2)x2
?，即证：ln1?，令t?1,(t?1)，x1?x2x1?x2x2x1?x2x2
构造g(t)?lnt?
2(t?1)
,t?1，此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略.t?1法三：直接换元构造新函数：a?
lnx1lnx2lnx2x2x
???,设x1?x2,t?2,(t?1)，x1x2lnx1x1x1
lntx1lnt?lnx1?t??t，lnx1lnx1
则x2?tx1,
lntlnttlnt
,lnx2?lntx1?lnt?lnx1?lnt??，t?1t?1t?1t?12
lnt?2，转化成法二，下同，略.故x1x2?e?lnx1?lnx2?2?
t?1反解出：lnx1?
2★例3.已知x1,x2是函数f(x)?e?ax的两个零点，且x1?x2.（1）求证：x1?x2?2；（2）求证：x1?x2?1.xex1?ex2ex2?ex12x1x2?1，等价于e?e?()，(2)要证：x1x2?1，即证：2ax2?x1ex1?ex21ex2?x11
??也即x，等价于，令t?x2?x1?0(e2?ex1)2(x2?x1)2(ex2?x1?1)2(x2?x1)2e1e1t2等价于t，也等价于，等价于即证：?(t?0)t?e?e?1?0?(t?0)t22e?1t(e?1)t1tt令h(t)?t?e?e?1(t?0)，则h?(t)?e?t?e2?e?e2(1??e2)，22tt2t2ttttt2tt1t
又令?(t)?1??e2(t?0)，得??(t)???e2?0，∴?(t)在(0,??)单调递减，222tt?(t)??(0)?0，从而h?(t)?0，h(t)在(0,??)单调递减，∴h(t)?h(0)?0，即证原不3等式成立.【点评】从消元的角度，消掉参数a，得到一个关于x1,x2的多元不等式证明，利用换元思想，将多元不等式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式.★例4.已知函数f(x)?x?e(a?0)，若存在x1,x2(x1?x2)，使f(x1)?f(x2)?0，求证：ax
x1?ae.x2
[KS5UKS5UKS5U]再证：x1?ae.x2
x1ax1ax??1，x2ax2lnx2
∵而0?x1?e?x2，lnx2?1∴x1axae?1??ae.证毕.x2lnx214【招式演练】★设函数f(x)?e?ax?a(a?R)的图像与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)(x1?x2)两点，（1）证明：f'(x1x2)?0；（2）求证：x1x2?x1?x2.x
x??e1?a(x1?1)
（2）证明：由?x，易知x2?x1?1且a?e，2
??e?a(x2?1)
x?1ex1?ln??ln?x?x???从而x?e12?1，令??x1?1,??x2?1，则e???1，e2x2?1????由于x1x2?x1?x2????1，下面只要证明：???1???结合对数函数y?lnx的图像可知，只需证：(?,ln?),(
1
1
?,(0???1??)，1
)两点连线的斜率要比?,ln
?(?,ln?),(?,ln?)两点连线的斜率小即可，ln??ln??1，即证：???ln??ln
又因为k?
??1?1???2ln??0(0???1)，1????51
含参数的极值点偏移
