常微分方程第三版课后习题答案
习题1.2
1．
dy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 dxdy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x2+c yx2解：
y=e
+ec=cex2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0
原方程的通解为y= cex2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e
2. y2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y2dx=-(x+1)dy
x2.
dy1dy=-dx
y2x?1两边积分: -
11=-ln|x+1|+ln|c| y=
ln|c(x?1)|y另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=
1
ln|c(x?1)|dy1?y23．=
dxxy?x3ydy1?y21 解：原方程为：= 3yx?xdx1?y21dy=dx yx?x3两边积分：x(1+x)(1+y)=cx
4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：
2221?yx?1dy=-dx
yx两边积分：ln|xy|+x-y=c
另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x）dy+(x-y)dx=0
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解：原方程为：
dyx?y=-
dxx?ydyduy=u 则=u+x 代入有：
dxdxxu?11-2du=dx
xu?1令
ln(u2+1)x2=c-2arctgu 即 ln(y2+x2)=c-2arctg6. x
y. 2xdy-y+x2?y2=0 dxy2dyy|x|=+-1?()
xdxxx 解：原方程为：
则令
dyduy=u =u+ x
dxdxx du=sgnx
11?u2arcsin
1dx xy=sgnx ln|x|+c xdydx= tgyctgx7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：
两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=
1c= 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.
ccosxcosx所以原方程的通解为sinycosx=c.
dyey?3x8 +=0 dxydyey3x 解：原方程为：=e
dxy2 e
3x22-3e
?y2=c.
9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：
dyyy=ln dxxx2 / 101
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令
dyduy=u ,则=u+ x
dxdxxdu=ulnu dxu+ x
ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln
10.
y=cy. xdyx?y=e dxdyx?y=ee dx 解：原方程为：
ey=cex
11
dy2=(x+y) dxdydu=-1 dxdx 解：令x+y=u,则
du2-1=u dx1du=dx 1?u2arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c
12.
1dy= dx(x?y)2解：令x+y=u,则
dydu=-1 dxdxdu1-1=2 dxu u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.
dy2x?y?1= dxx?2y?1解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y-y)-dx+x=c
22 xy-y+y-x-x=c
2214:
dyx?y?5= dxx?y?2解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0
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dxy-d(
121y+2y)-d(x2+5x)=0 22 y2+4y+x2+10x-2xy=c.
dy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy?1 dxdy 解：原方程为：=（x+4y）2+3
dxdy1du1令x+4y=u 则=-
dx4dx41du12-=u+3 4dx4du=4 u2+13 dx3u=tg(6x+c)-1 22tg(6x+c)=(x+4y+1).
315: 16:证明方程
xdy=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程： ydx1） y(1+x2y2)dx=xdy
xdy2?x2 y2 2） = 22ydx2-xydydu+y= dxdxdy1duu 则=-，有：
dxxdxx2xdu =f(u)+1
udx 证明： 令xy=u,则x
11du=dx
u(f(u)?1)x 所以原方程可化为变量分离方程。
1） 令xy=u 则
dy1duu=- (1) dxxdxx2dyy2原方程可化为：=[1+（xy）] (2)
dxx1duuu2将1代入2式有：-2=(1+u)
xdxxxu=u2?2+cx
17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。
解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y’(x- x )+ y
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则与x轴，y轴交点分别为： x= x0 -
y0 y= y0 - x0 y’ y'y0 所以 xy=c y' 则 x=2 x0 = x0 -
18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中? =
? 。 4解：由题意得：y’= ln|y|=ln|xc| y=cx. ? =
11y dy= dx
yxx? 则y=tg?x 所以 c=1 y=x. 419.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。 证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y’=kx 则：y=kx2 +c 即为所求。
习题2.1
1.
dy?2xy,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. dx 解：对原式进行变量分离得
1dy?2xdx,两边同时积分得：lny?yc?1,故它的特解为y?ex。2x2?c,即y?cex把x?0,y?1代入得
22.ydx?(x?1)dy?0,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.
解：对原式进行变量分离得：
2?1111dx?2dy,当y?0时，两边同时积分得；lnx?1??c,即y?x?1yc?lnx?1y
当y?0时显然也是原方程的解。当x?0,y?1时，代入式子得c?1,故特解是1y?。1?ln1?x5 / 101
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