2012
年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
x2?xy?2x?1渐近线的条数为（ ） （1）曲线
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
x2xnxf(x)?(e?1)(e?2)…（e-n）（2）设函数，其中n为正整数，
则f?(0)=（
）
n?1n(?1)(n?1)!(?1)(n?1)! （A） （B）n?1n(?1)n!(?1)n!
（C） （D）
?（3）设函数f(t)连续，则二次积分
?20d??22cos?f(r2)rdr=（ ）
（A）
??202dx?dx?4?x22x?x24?x22x?x2x2?y2f(x2?y2)dyf(x2?y2)dy
（B）
0
?（C）
20dx?14?x2?2x?x24?x2?2x?x2x2?y2f(x2?y2)dy
?（D）
20dx?1f(x2?y2)dy
（4）已知级数
?(?1)i?1?n?1(?1)nnsin??n绝对收敛，i?1n2??条件收敛，则
?范围为（ ）
11?（A）0
c1，c2，c3，c4为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）
（A）?1，?2，?3 （C）?1，?3，?4
（B）?1，?2，?4 （D）?2，?3，?4
?1??1?，????2? （6）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P-1AP=??1QAQ=（?????????）P=（?1，?2，?3），Q=（?1+?2，?2，?3）则
?1??1????1?2????????12? （B）?? （A）??2??2?????12????????21? （D）?? （C）?（7）设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀
22?｛?+??1｝分布，则（
）
?11（A）4 （B）2 （C）8 （D）?4
2X，X，X，XN（1，?）（??0）1234（8）设为来自总体的简单
X1?X2|X+X4-2|的分布（ ）
随机样本，则统计量32t(1)?（0，1）（A）N （B） （C）(1) （D）F(1,1)
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
lim(tanx)?（9）
x?41cosx?sinx
（10）设函数
?dy?lnx,x?1f(x)?,y?f(f(x)),求dx??2x?1,x?1x?0___________.
（11）函数z?f(x,y)满足
limx?0y?1f(x,y)?2x?y?2x?(y?1)22?0,则
dz(0,1)?_______.
（12）由曲线面积为_______.
y?
4
x和直线y?x及y?4x在第一象限中所围图形的
（13）设A为3阶矩阵，|A|=3，A*为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B，则|BA*|=________.
11P(AB)?,P(C)?,23（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，
（??C）=_________. 则P解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
e?e2?2cosxlim4x?0x计算
x2
（16）（本题满分10分）
xe??xydxdyDy?x与y?，其中D为由曲线
计算二重积分区域.
1x所围
（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分
x别为x(件)和y(件)，且固定两种产品的边际成本分别为20+2（万元/件）
与6+y（万元/件）.
1）求生产甲乙两种产品的总成本函数C(x,y)（万元）
2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小求最小的成本.
3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.
（18）（本题满分10分）
1?xx2xln?cosx?1?,?1?x?1.1?x2证明：
（19）（本题满分10分）已知函数f(x)满足方程
f?(x)?f?(x)?2f(x)?0及f?(x)?f(x)?2ex
1）求表达式f(x) 2）求曲线的拐点
y?f(x)?f(?t2)dt02x
（20）（本题满分10分）
?1?0A???0??a设
a1000a100??1???1?0??，b????0?a????1??0?
（I）求|A|
（II）已知线性方程组Ax?b有无穷多解，求a，并求Ax?b的通解.
(21)（本题满分10分）
?1?0A????1??0已知01?11??，0a??a?1?二次型f(x1,x2,x3)?x?(???)x的秩为2，
求实数a的值；
求正交变换x=Qy将f化为标准型. （22）（本题满分10分）
已知随机变量X,Y以及XY的分布律如下表所示：
历考研数学三真题及详细答案解析
