课 题: 泰勒公式 目的要求：
掌握泰勒公式的条件与结论
掌握几种常见函数的泰勒展开
初步掌握泰勒展开的简单应用 教学重点：
掌握几种常见函数的泰勒展开 教学难点：
掌握几种常见函数的泰勒展开 教学课时：2
教学方法：讲练结合 教学内容与步骤：
泰勒中值定理：
2
在近似计算和理论分析中, 对于复杂函数f (x). 常希望用一个多项式P(x) = a0+a1x+a2xn
+…+ anx来近似表示 f (x).
1x
比如, 当|x|很小时, e? 1+x, sin ? x.，n1?x?1?x.都是用一次函数表示函数 f (x)的例子.
n缺陷: (1)精度不高, 误差仅为o(x) ，(2)没有误差估计式.
从几何上看, 缺陷(1)是由于我们在x=0附近用直线代替曲线, 精度当然不高.
能否改用二次曲线, 三次曲线, …, 代替? 精度是否能提高, 或者说, 曲线的吻合程度是否会更好些呢? 如下图
我们要解决的问题是: 设f (x)在x=x0的某邻域内有直到n+1阶导数.
2n
(1)试求一个关于x–x0的n次多项式：Pn(x) = a0+a1(x–x0)+a2 (x–x0)+…+ an (x–x0)使Pn(x)能在x0的附近近似表示 f (x).
即, f (x)和Pn(x)在x=x0处的函数值以及k阶(k?n)导数值都相等. 即, f (x0)=Pn(x0), f '(x0)= P'n(x0), f ''(x0) = P''n(x0), … f (2)误差 f (x)–Pn(x)的表达式.
首先解决问题(1), 即设f (x)在x=x0的某邻域U(x0)内有直到n+1阶导数.
2n
求Pn(x) = a0+a1(x–x0)+a2 (x–x0)+…+ an (x–x0). 满足f (x0) = Pn(x0), f '(x0) = P'n(x0), f ''(x0) = P''n(x0), … f
(n)(n)
(x0)= Pn(x0).
(n)(n)
(x0) = Pn(x0).
将x=x0代入Pn(x), 得Pn(x0)= a0= f (x0) ,
对Pn(x)求导, 再将x0代入, 得P'n(x0) = a1 = f '(x0)
对Pn(x)求二次导, 将x0代入, 得P''n(x0)= 2!a2 = f ''(x0)。故：a2?同理,Pn(3)(x0)?3! a3?f(3)(x0), 得: a3?1(3)f(x0).3!1f??(x0).2!
一般,Pn(n)(x0)?n! an?f(n)(x0), 得：an?1(n)f(x0). n!f?(x0)f??(x0)fn(x0)2故：pn(x)?f(x0)?(x?x0)?(x?x0)L?(x?x0)n?f(x)1!2!n!定理(泰勒中值定理) 如果f (x)在含x0的某个区间(a, b)内有直到n+1阶的导数，则对?x?(a,
f'(x0)f'(x0)fn(x0)2b)，有：f(x)?f(x0)?(x?x0)?(x?x0)?L ?(x?x0)n?Rn(x).
1!2!n!f(n?1)(?)(x?x0)n?1,?是介于x0与x之间的一个值. 其中：Rn(x)?(n?1)!f(n?1)(?)(x?x0)n?1, (?介于x0与x之间）或证：设Rn(x)?f(x)?pn(x).只须证明：Rn(x)?(n?1)!Rn(x)(x?x0)n?1f(n?1)(?)?.由于f (x)和Pn(x)在(a, b)内有直到 n+1 阶导数, 从而 Rn(x) 在 (a, b)(n?1)!内有直到 n+1 阶导数.
(k)(k)(x0)?f(k)(x0)?Pn(x0)注意到Rn(x)?f(x)?Pn(x),Rn
(n)(n?1)Rn(x0)?R'n(x0)?Rn''(x0)?L?Rn(x0)?0,Rn(x)?f(n?1)(x).
，?1介于x0与x之间.
?x?(a,b),在[x0,x](或[x,x0])?(a,b)上，Rn(x)和(x?x0)n?1用柯西中值定理有：
Rn(x)(x?x0)n?1?Rn(x)?Rn(x0)(x?x0)n?1?0?R'n(?1)(n?1)(?1?x0)n?R'n(?1)?R'n(x0)(n?1)(?1?x0)n?0n
对函数R'n(x)和(n+1)(x?x0)在[x0, ?1]或[?1, x0]上用柯西中值定理.
Rn(x)(x?x0)n?1?R'n(?1)?R'n(x0)(n?1)(?1?x0)?0n???(?2)Rn(n?1)n(?2?x0)n?1?''R''n(?2)?Rn(x0)(n?1)n(?2?x0)n?1?0，?2介于x0与?1
之间.
继续下去, 经n次后,
(n)(n)(n)(n?1)Rn(?n)Rn(?n)?Rn(x0)Rn(?n?1)fn(n?1)(?)????.
(n?1)!(?n?x0)?0(n?1)!(n?1)!(x?x0)n?1(n?1)!(?n?x0)Rn(x)其中? =?n+1介于x0与?n 之间, 从而介于x0与x之间.
f(k)(x0)(x?x0)k?Rn(x)称为 f (x) 按(x?x0)的幂, 展开到n阶的泰勒注1. 公式：f(x)??k!k?0nf(n?1)(?)(x?x0)n?1. ? 介于x与x0之间，称为拉格朗日型余项. 公式.Rn(x)?(n?1)!f(n?1)(x0??(x?x0))(x?x0)n?1. 0???1或记为：Rn(x)?(n?1)!
注2. 当n＝0时，泰勒公式变为拉格朗日中值公式：
f(x)?f(x0)?f'(?)(x?x0), ? 介于x0与x之间注3.
若f(n?1)(x)在(a, b)有界. 即|f(n?1)(x)|?M.
f(n?1)(?)M(x?x0)n?1?则|f(x)?Pn(x)|?|Rn(x)|?|x?x0|n?1.
(n?1)!(n?1)!
f(n?1)(?)?lim?(x?x0)?0. 且limx?x0(x?x)nx?x0(n?1)!0Rn(x)n
可是, 误差Rn(x)是(x?x0)的高阶无穷小(当x?x0时).余项. 注4.
若在泰勒中值定理中取x0=0. 则公式为
n
即 Rn(x)=0((x?x0) ). 称为皮亚诺
f?(0)f??(0)2f(n)(0)nf(x)?f(0)?x?x?L?x?Rn(x)1!2!n!f(n?1)(?)n?1f(n?1)(?x)n?1Rn(x)?x??x.其中? 介于x与0之间, 0
(n?1)(n?1)!
x
例. 写出 f (x) = e展开到n阶的马克劳林公式. 解： f
xn(n)x(n)
(x) = e, f (0) =1
n1f(k)(0)kf(n?1)(?)n?1e?ke???x?x???x?xn?1，? 介于0，x之间
k!(n?1)!(n?1)!k?0k?0k!1e?,特别, 取x=1, 有,e???k!(n?1)!k?0n
e??111?1?1??L?2!n!k?0k!n
e?3误差Rn|??, ? 介于0， 1之间
(n?1)!(n?1)!练习. 求f (x)=sinx 在x0=0的展开式 解：sin0 = 0,
(sinx)(n)?sin(x?n?)2?
f(n)(0)?sinn????0??k2??(?1)
n?2kn?2k?1
将sin x在x0=0展开到n=2m阶. 得：
111f(n)(0)nx2m?1?R2m(x) sinx???x?R2m(x) ?x?x3?x5?L ?(?1)m?1n!3!5!(2m?1)!n?02m???sin?(?x?(2m?1)?2?2m?1? 其中：R2m(x)??x, 0???1.
(2m?1)!同理：cosx?1?12141x?x?L?(?1)mx2m?R2m?1(x) （注：cosx=(sinx)’=1-….） 2!4!(2m)!???cos?(?x?(2m?2)?2?2m?2?其中，R2m?1(x)??x, 0???1.
(2m?2)!练习：求f(x)=ln(1+x)的n阶麦克劳林展开式 f(k)(x)?(?1)k?1(k?1)!(1?x)k,f(k)(0)?(?1)k?1(k?1)! f(0)=0
n?1x2x3x4xn?1n?1xn?(?1) ln(1+x)=x????......?(?1)
234n(n?1)(1??)n?1例. 求limcosx?ex4?x22x?0
4x221x解：展开cosx?1?x2??0(x4)，e2!4!?x22?1x21x22x4?1?(?)?(?)?0()
1!22!24相减，cosx?e1x414x44??x?[0(x)?0()]??x4?0(x4)
124!84??x4x44?0(x)?0()0(x4)0()?4?4?Q??0,(x?0)? 444??xxx????cosx?ex4?x22??limx?0从而：limx?014x?0(x4)112??. 12x4练习：（1）limx?sinxx3x?0 （注：洛必达法则还没学） （：1/6）
etanx?1 (2) lim (注：等价无穷小) （：1）
xx?0
作 业：
教学总结：
计算不作重点，强调计算方法的多样性和灵活性。
高数教案 - 泰勒公式13
