高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.5距离(选
学)课堂探究学案新人教B版选修2-1
3.2.5 距离(选学)
课堂探究
探究一 用向量求两点间的距离
用向量法求两点间距离的方法主要是坐标法和基向量法,设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,
→z2),则dAB=|AB|=
x2-x1
2
+y2-y1
2
+z2-z1
2
,或利用|a|=a·a求解.
【典型例题1】 已知矩形ABCD中,AB=4,AD=3,沿对角线AC折叠,使平面ABC与平面ADC垂直,求B,D间的距离.
思路分析:本题既可利用向量模求解,也可建立坐标系利用距离公式求解. 解法一:过D和B分别作DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,
则由已知条件可知AC=5, 3×4123×412∴DE==,BF==.
5555
AD2997
∵AE===CF,∴EF=5-2×=.
AC555
∵DB=DE+EF+FB,
→→→→→2→→→2→2→2→2→→→→→→
∴|DB|=(DE+EF+FB)=DE+EF+FB+2DE·EF+2DE·FB+2EF·FB.
∵平面ADC⊥平面ABC,DE⊥AC, ∴DE⊥平面ABC, →→
∴DE⊥BF,即DE⊥FB,
→2→2→2→214449144337∴|DB|=DE+EF+FB=++=,
25252525
∴|DB|=
→337. 5
337. 5
故B,D间距离是
解法二:过D作DE⊥AC于E,过B作BF⊥AC于F,过E作FB的平行线EP,以E为坐标原点,EP,EC,ED所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图.
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由解法一知DE=FB=,EF=,
5512???127?∴D?0,0,?,B?,,0?,
5???55?∴DB=?
→?12,7,-12??,
?5
5
5?
∴|DB|=
→?12?2+?7?2+?-12?2=337. ?5??5??5?5??????
探究二 求点到平面的距离
利用点到平面的距离定义,求点到平面的距离,就是过点作平面的垂线,点与垂足间的线段长就是点到平面的距离,从而转化到可解三角形中求解.
用向量法求点到平面的距离的方法:求出平面的一个法向量n的坐标,再求出已知点P与平面内任一点M构成的向量MP的坐标,那么P到平面的距离d=|MP|·|cos〈n,MP〉|.
【典型例题2】 直三棱柱ABC - A1B1C1的侧棱AA1=3,在底面△ABC中,∠ACB=90°,
→→→AC=BC=1,求点B1到平面A1BC的距离.
思路分析:直接作平面的垂线较困难,故可考虑建立平面直角坐标系求解. 解:如图,建立空间直角坐标系,
由已知得直三棱柱各顶点坐标:A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),A1(1,0,3),B1(0,1,→→→
3),C1(0,0,3),则A1B1=(-1,1,0),BC=(0,-1,0),A1C=(-1,0,-3). 设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z), →→
则n·A1C=0,n·BC=0,
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即-x-3z=0,-y=0.令x=-3,则y=0,z=1, 所以平面A1BC的一个法向量为n=(-3,0,1), →|n·A1B1|3
所以点B1到平面A1BC的距离d==.
|n|2探究三 求平行平面之间的距离
当两个平面互相平行时,其中一个平面内任一点到另一个平面的距离都相等,且都等于这两个平行平面间的距离,因此,两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离求解.
【典型例题3】 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求平面A1BD与平面B1CD1间的距离.
思路分析:平面A1BD与平面B1CD1间的距离就等于平面A1BD内任意一点到平面B1CD1的距离,即转化为求点到平面的距离.
解:以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则A1(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1),
A1B=(0,1,-1),A1D=(-1,0,-1),A1D1=(-1,0,0).
设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z), →??n·A1B=0,
则?
→??n·A1D=0
→→→
??y-z=0,
??
?-x-z=0,?
令z=1,得y=1,x=-1,∴n=(-1,1,1),
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