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“将军饮马”系列最值问题 知识回顾
1.两点之间，线段最短． 2.点到直线的距离，垂线段最短．
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边．
4.A、B分别为同一圆心O半径不等的两个圆上的一点，R?r?AB?R?r 当且仅当A、B、O三点共线时能取等号．
知识讲解
古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦．
有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从A出发到河边饮马，然后再到B地军营视察，显然有许多走法．问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题．
下面我们来看看数学家是怎样解决的．海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题． 根据公理：连接两点的所有线中，线段最短．
B在河流的异侧，直接连接AB，AB与l的交点即为所求． 若A、B在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解． 若A、
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海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线
现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想
轴对称及其性质：
把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称．如等腰?ABC是轴对称图形．
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
如下图，?ABC与?A'B'C'关于直线l对称，l叫做对称轴．A和A'，B和B'，C和C'是对称点．
轴对称的两个图形有如下性质：
①关于某条直线对称的两个图形是全等形； ②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．
线段垂直平分线：
垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等； 到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
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当已知条件出现了等腰三角形、角平分线、高，或者求几条折线段的最小值等情况，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件。
所有的轴对称图形（角、线、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、坐标轴），都可以考察“将军饮马”问题。
考察知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
构建“对称模型”实现转化
CAPPPBBMMMCAABCCACACMMPMBPPBBA PA?PB…BC
常见模型： （1）PA?PB最小
同侧异侧ABlBlPA'PA图1图2
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CAMPBABPMC
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（2）①PA?PB最小
同侧ABP图4l异侧lP图5A异侧A'BP图6lAB
②PA?PB最大
异侧同侧BAPA'AllPB
【变形】异侧时，也可以问：在直线l上是否存在一点P使的直线l为?APB的角平分线 （3）周长最短
类型一 类型二 类型三
A'A'ABPA'BAOCA''AMNB'B
（4）“过河”最短距离
类型一 类型二
B'BNMBMNANlMA'AB''
（5）线段和最小
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EEQQl2PAl2Bl1Bl1APFF
（6）在直角坐标系里的运用
BAA'EABAA'BMA''NPA'FB'
BB'AEA'AMA'EF=1NBFB'A''BEA'PA?APE=?BPE
同步练习
【例1】尺规作图，作线段AB的垂直平分线，作?COD的角平分线．
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将军饮马系列---最值问题
