《概率论与数理统计》习题及答案
第 七 章
1．对某一距离进行5次测量，结果如下：
2781,2836,2807,2765,2858（米）. 已知测量结果服从N(?,?2)，求参数?和?的矩估计.
2
1n???(Xi?X)2?S*2 ??X，?的矩估计为? 解 ?的矩估计为?ni?11 X?(2781?2836?2807?2765?2858)?2809.0，
51*2 S??5854.0?1170.84
522所以
?2?1170.8 ??2809,?,Xn是来自对数级数分布
2．设X1,X2,1pkP(X?k)??,(0?p?1,k?1,2,)
lu(1?p)k的一个样本，求p的矩估计.
???111pkk 解 ?1??p （1） ??p????ln(1?p)ln(1?p)k?1ln(1?p)1?pk?1因为p很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩
??1pp??k??k?1??kp?? ?2??kp ???x?ln(1?p)ln(1?p)ln(1?p)k?1k?1?k?1?x?p?kpp1?x????? ?? （2） 2?ln(1?p)?1?xln(1?p)(1?p)??x?p （1）?（2）得 所以得p的矩估计
?1???1 ?1?p 所以 p?2?2?21n2?Xi?XXni?1?1? p?
1n2?2?Xini?1 3．设总体X服从参数为N和p的二项分布，X1,X2,样本，试求参数N和p的矩估计 解 ?,Xn为取自X的
???1?Np, 2???2?Np(1?p)?(Np)解之得N??1/p， (1?p)?Np?即
N??2， ?1?1p，
?2??12 p?1?，
?1所以 N和p的矩估计为
S*2X? N?，p?1?. Xp 4．设总体X具有密度
11)??1?(1??x,?C f(x;?)????0,?x?C,其他.
其中参数0???1,C为已知常数，且C?0，从中抽得一个样本，
X1,X2, 解
,Xn，求?的矩估计
?1?EX????C1C?1?x?dx?C?1?1111?1?1?x1?1???C
?1C(?C?C?)? ?C， ??11??解出?得
C ??1?,
1??1
于是?的矩估计为 ??1?C. X 5．设总体的密度为
???(??1)x,0?x?1, f(x;?)??
,其他.??0试用样本X1,X2,,Xn求参数?的矩估计和极大似然估计.
解 先求矩估计：
?1?EX??(??1)x??1dx?01??1??21??1x?,
0??2??2解出?得 ??1?2?1, ?1?11?2X. X?1所以?的矩估计为 ?? 再求极大似然估计： L(X1,,Xn;?)??(??1)xi??(??1)n(x1x2i?1nnxn)?，
lnL?nln(??1)???lnxi?1i，
ndlnLn ???lnxid???1i?10，
解得?的极大似然估计： ???(1?n?lnxi?1n).
i 6．已知总体X在[?1,?2]上服从均匀分布，X1Xn是取自X的样本，求
?1,?2的矩估计和极大似然估计.
解 先求矩估计： ?1?EX?2?1??22，
(?2??1)2(?1??2)2?12??1?2??22?? ?2?EX?
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《概率论与数理统计》习题及答案 第七章
