2020届江苏省泰州市高三上学期期末考试
数学试题
一、填空题
1．函数f(x)?sin2x的最小正周期为 ． 2．已知集合A＝｛4，｝，B＝｛－1，16｝，若A∩B3．复数z满足
，则＝__.
（i是虚数单位），则｜z｜＝__.
4．函数的定义域是__.
5．从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为___. 6．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值是__.
7．已知数列｛8．若抛物线
｝满足
＝1，则
的准线与双曲线
＝__.
＝1的一条准线重合，则p＝__.
9．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M为棱AA1的中点，记三棱锥A1－MBC的体积为V1，
四棱锥A1－BB1C1C的体积为V2，则的值是__.
10．已知函数，若，则实数的取值范围为__.
＝1上任一点P作圆C2：
11．在平面直角坐标系xoy中，过圆C1：
＝1的一条切线，切点为Q，则当线段PQ长最小时，k＝__. 12．已知点P为平行四边形ABCD所在平面上任一点，且满足
，则??＝__.
，
13．已知函数是__.
，若存在＜0，使得＝0，则实数的取值范围
14．在△ABC中，已知，其中，若
为定值，则实数＝__.
二、解答题 15．已知向量（1）若（2）若
16．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点O为对角线BD的中点，点E，F分别为棱PC，PD的中点，已知PA⊥AB，PA⊥AD。 （1）求证：直线PB∥平面OEF； （2）求证：平面OEF⊥平面ABCD。
，
，其中
。
，求x的值；
，求｜
｜的值。
17．如图，三个校区分别位于扇形OAB的三个顶点上，点Q是弧AB的中点，现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P（不与点O，Q重合），为小区铺设三条地下电缆管线PO，PA，PB，已
知OA＝2千米，∠AOB＝，记∠APQ＝θrad，地下电缆管线的总长度为y千米。 （1）将y表示成θ的函数，并写出θ的范围；
（2）请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小。
18．如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：的左顶点为A，点B是
椭圆C上异于左、右顶点的任一点，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线OP交
于点Q，已知椭圆C的离心率为，点A到右准线的距离为6。 （1）求椭圆C的标准方程；
（2）设点Q的横坐标为，求的取值范围。
19．设A，B为函数y＝f（x）图象上相异两点，且点A，B的横坐标互为倒数，过点A，B分别做函数y＝f（x）的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f（x）的“优点”。
（1）若函数（2）求函数（3）求证：函数
20．已知数列｛
不存在“优点”，求实数的值；
的“优点”的横坐标的取值范围；
的“优点”一定落在第一象限。
｝的前n项和为Sn，
。
，且对任意的n∈N，n≥2都有
（1）若（2）数列｛
0，，求r的值；
｝能否是等比数列？说明理由；
｝是等差数列。
（3）当r＝1时，求证：数列｛
2020届江苏省泰州市高三上学期期末考试
数学试题参考答案
一、填空题
1．函数f(x)?sin2x的最小正周期为 ． 【答案】?
【解析】试题分析：f?x??Asin??x???的周期为T?2???T?2??? 2【考点】三角函数周期
2．已知集合A＝｛4，｝，B＝｛－1，16｝，若A∩B【答案】±4
，则＝__.
【解析】根据集合A＝｛4，｝，B＝｛－1，16｝，若A∩B果. 【详解】
，从而得到，得到结
因为A∩B，可知，解得，
故答案是：【点睛】
.
该题考查的是有关集合元素的特征，注意交集非空的条件，得到参数所满足的关系，属于简单题目. 3．复数z满足【答案】5
（i是虚数单位），则｜z｜＝__.
【解析】首先根据复数的运算法则，得到【详解】
，之后利用复数模的公式求得结果.
因为，所以，
所以
故答案是：5. 【点睛】
，
该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的模，属于简单题目.
4．函数的定义域是__.
【答案】［－1,1］
【解析】令被开方式大于等于零，解不等式求出函数的定义域. 【详解】
要使函数
所以函数的定义域是故答案是：【点睛】
.
有意义，需要满足
，
，解得，
该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，属于简单题目.
5．从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为___.
【答案】
【解析】根据题意，列举从5个数中一次随机取两个数的情况，可得其情况数目与取出两个数的和为6的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案. 【详解】
根据题意，从5个数中一次随机取两个数，其情况有：
（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5），共10种情况，
其中这两个数的和为6的有：（1,5），（2,4），共2种，
则取出两个数的和为6的概率为，
故答案是：. 【点睛】
该题考查的是有关古典概型的概率求解问题，在解题的过程中，注意该类问题的求解步骤，首先需要将所有的基本事件写出，之后找出满足条件的基本事件，最后应用概率公式求解即可. 6．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值是__.
【答案】8
【解析】首先拟执行该程序，最后求得结果. 【详解】 第一步：此时
.
；第二步：
，推出循环；
【点睛】
该题考查的是有关程序运行后对应的输出值的问题，在解题的过程中，注意对语句的正确理解.
7．已知数列｛【答案】4
｝满足＝1，则＝__.
【解析】首先根据对数的运算法则，可求得，从而可以断定数列是以2为公比的
等比数列，从而求得【详解】
，得到结果.
由所以数列
，可得
是以2为公比的等比数列，
，所以，
所以
故答案是：4. 【点睛】
，
该题考查的是有关等比数列的性质的问题，涉及到的知识点有对数的运算性质，等比数列的定义和性质，熟练掌握基础知识是正确解题的关键. 8．若抛物线
的准线与双曲线
＝1的一条准线重合，则p＝__.
【答案】
【解析】求出抛物线的准线方程，双曲线的左准线方程，建立关系，即可求出p的值. 【详解】
抛物线的准线为：，
双曲线的左准线为：，
由题意可知，解得，
故答案是【点睛】
.
该题所考查的是有关抛物线与双曲线的几何性质的问题，属于简单题目.
9．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M为棱AA1的中点，记三棱锥A1－MBC的体积为V1，
四棱锥A1－BB1C1C的体积为V2，则的值是__.
【答案】
【解析】首先设出该棱柱的底面积和高，之后根据椎体的体积公式求得其比值，得到结果. 【详解】 设
的面积为，三棱柱的高为，
和的值，进而求得
则，
，
所以，
故答案是. 【点睛】
该题考查的是有关椎体的体积的问题，熟记公式是正确解题的关键. 10．已知函数【答案】
，若
，则实数的取值范围为__.
【解析】首先根据题中所给的函数解析式，确定出函数是偶函数，再利用导数得出其在当
时，函数为增函数，当时，函数为减函数，利用函数值的大
小，得出自变量所满足的条件，最后求得结果. 【详解】 函数因为
为偶函数，
，
所以当由即
时，函数得，解得
为增函数，当
，
时，函数为减函数，
故答案是：【点睛】
.
该题考查的是根据函数值的大小求解不等式的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有偶函数的特征，利用导数研究函数的单调性，根据图象，结合函数值的大小，确定自变量的大小的问题，属于中档题目.
11．在平面直角坐标系xoy中，过圆C1：
＝1的一条切线，切点为Q，则当线段PQ长最小时，k＝__. 【答案】2
【解析】首先画出相应的图形，根据切线的性质，得到对应的垂直关系，利用勾股定理得到线段之间的关系，从而将问题转化，再应用圆上的点到定点的距离的最小值在什么位置取得，从而求得结果. 【详解】
如图，因为PQ为切线，所以
，
＝1上任一点P作圆C2：
由勾股定理，得显然当点P为此时，
与
，要使
的交点时，，所以当
最小，则需最小，
最小， 最小时，
就最小，
，
当
时，
最小最小，得到
最小，
故答案是：2. 【点睛】
该题考查的是有关直线与圆的位置关系，切线长的求法，勾股定理，两点间距离公式，二次函数的最值，以及数形结合的思想.
12．已知点P为平行四边形ABCD所在平面上任一点，且满足
，则
＝__.
，
【答案】－
【解析】首先利用向量的运算法则，将向量进行代换，最后求得对应的果. 【详解】 如下图，
的值，从而求得结
因为所以即所以
， ，
，即，
，
即，所以，
故答案是：【点睛】
.
该题考查的是有关平面向量基本定理的问题，涉及到的知识点有平面向量的运算法则，属于简单题目.
13．已知函数是__.
【答案】［－1,0）
，若存在＜0，使得＝0，则实数的取值范围
【解析】首先将函数值等于零，转化为两曲线在在到最后的结果，求得参数的取值范围. 【详解】 当如果
时， ，
，相当于函数
处有交点，结合函数的图象，从而得
在处有交点，由图
象可知，显然不符； 如果
，
，相当于函数
在
处有交点，由
图像可知，显然不符； 当如果
时， ，
，
时，在
且
，相当于函数
，切点为处有交点，即存在
，代入
，使得在
处有交点，如下，得；
，
图，两图象相切时，所以，当
如果
且
时，处有交点，因
处，两图象没有交点；
，相当于函数
在
处
有交点，即，下图中，两图象交点的横
坐标是大于的，所以，在
综上，可知：【点睛】
该题考查的是有关根据函数零点的范围求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意分段函数要分段来处理，再者就是要熟练应用数形结合.
.
14．在△ABC中，已知，其中，若
为定值，则实数＝__.
【答案】
【解析】首先根据，求得，根据题中所给的条件
，得到，再结合题中所给的条件
为定值，设其为k，从而整理得出
立，从而求得结果. 【详解】
恒成
由，得：，
由，得：，
即，
（k为定值），
即，
即恒成立，
所以，，
故答案是：. 【点睛】
该题考查的是有关根据条件求参数的值的问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，两角差的正弦公式，三角形的内角和，诱导公式，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.
二、解答题 15．已知向量（1）若（2）若
，
，其中
。
，求x的值；
，求｜
｜的值。
【答案】（1）（2）
【解析】（1）利用向量共线的条件，可得结论；
（2）利用同角三角函数关系式，结合题中所给的正切值，得到模的公式，结合所求得的结论，得到结果. 【详解】
，再利用向量的
（1）因为，所以，，即，
因为，所以，；
（2）因为＝＝－2，所以，，
，
＝
【点睛】
＝
该题考查的是向量的有关问题，涉及到的知识点有两向量共线坐标所满足的条件，正弦倍角公式，已知三角函数值求角，向量的模，属于简单题目.
16．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点O为对角线BD的中点，点E，F分别为棱PC，PD的中点，已知PA⊥AB，PA⊥AD。
（1）求证：直线PB∥平面OEF； （2）求证：平面OEF⊥平面ABCD。 【答案】详见解析
【解析】（1）根据O为PB中点，F为PD中点，所以，PB∥FO，之后应用线面垂直的判定定理证得结果；
（2）根据题意，得到PA∥OE，结合题中所给的条件因为PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，可得PA⊥平面ABCD，从而得到OE⊥平面ABCD，根据面面垂直的判定定理证得结果. 【详解】
（1）O为PB中点，F为PD中点，所以，PB∥FO 而PB平面OEF，FO平面OEF， ∴ PB∥平面OEF。
（2）连结AC，因为ABCD为平行四边形，
∴AC与BD交于点O，O为AC中点，又E为PC中点， ∴ PA∥OE，
因为PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A， ∴ PA⊥平面ABCD， ∴ OE⊥平面ABCD 又OE平面OEF， ∴ 平面OEF⊥平面ABCD 【点睛】
该题考查的是有关证明空间关系的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和面面垂直的判定，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.
17．如图，三个校区分别位于扇形OAB的三个顶点上，点Q是弧AB的中点，现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P（不与点O，Q重合），为小区铺设三条地下电缆管线PO，PA，PB，已
知OA＝2千米，∠AOB＝，记∠APQ＝θrad，地下电缆管线的总长度为y千米。 （1）将y表示成θ的函数，并写出θ的范围；
（2）请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小。
【答案】（1）
（2）P与O的距离为
时，地下电缆管线的总长度最小
【解析】（1）首先根据Q为弧AB的中点，得到知PA＝PB，∠AOP＝∠BOP＝，利用正弦定理
得到，根据OA＝2，得到PA＝，OP＝，从而得到y＝PA+PB+OP
＝2PA+OP＝＝，根据题意确定出；
（2）对函数求导，令导数等于零，求得【详解】
，确定出函数的单调区间，从而求得函数的最值.
（1）因为Q为弧AB的中点，由对称性，知PA＝PB，∠AOP＝∠BOP＝，
又∠APO＝，∠OAP＝，
由正弦定理，得：，又OA＝2，
所以，PA＝，OP＝，
所以，y＝PA+PB+OP＝2PA+OP＝＝，
∠APQ＞∠AOP，所以，，∠OAQ＝∠OQA＝，
所以，；
（2）令，
，得：，
在上递减，在上递增
所以，当，即OP＝时，有唯一的极小值，
即是最小值：＝2，
答：当工作坑P与O的距离为时，地下电缆管线的总长度最小。
【点睛】
该题考查的是应用题，涉及到的知识点有圆的相关性质，正弦定理，应用导数研究函数的最值问题，属于较难题目.
18．如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：的左顶点为A，点B是
椭圆C上异于左、右顶点的任一点，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线OP交
于点Q，已知椭圆C的离心率为，点A到右准线的距离为6。 （1）求椭圆C的标准方程；
（2）设点Q的横坐标为，求的取值范围。
【答案】（1）
（2）
（4,8）
【解析】（1）首先根据题意得到联立求得＝2，c＝1，根据椭圆中
，又因为点A到右准线的距离为6，得到的关系，求得b的值，从而求得椭圆的方程；
＝6，
（2）设出直线AB的方程，之后与椭圆方程联立，得到，从而求得
，从而得到OP的斜率，进一步求得直线OP的方程，再得出BQ的方程，两直
线方程联立，求得【详解】
，从而得到其范围.
（1）依题意，有：，即，
又＝6，所以，＝6，解得：＝2，c＝1，
b＝＝，
所以，椭圆C的方程为：，
（2）由（1）知：A（-2,0），设AB：
，即，
则
，
【点睛】
该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有椭圆的标准方程的求解，直线与椭圆的交点，两直线垂直的条件，两条直线的交点，函数的范围，属于较难题目.
19．设A，B为函数y＝f（x）图象上相异两点，且点A，B的横坐标互为倒数，过点A，B分别做函数y＝f（x）的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f（x）的“优点”。
（1）若函数（2）求函数（3）求证：函数
不存在“优点”，求实数的值；
的“优点”的横坐标的取值范围；
的“优点”一定落在第一象限。
【答案】（1）不存在符合题意的（2）（3）详见解析
【解析】（1）根据题意得到对恒成立，根据函数不存在“优
点”，即两条切线不存在交点，即两切线平行，得到等量关系式，求得结果，回代检验，出现矛盾，从而得到不存在这样的；
（2）首先设出两个点的坐标，利用两点式写出两条切线的方程，联立求出横坐标
，从而求得其范围；
（3）设出点的坐标，同样写出两切线的方程联立，求得导数研究函数图象的走向，从而确定结果. 【详解】
，代入求出纵坐标，利用
（1）由题意可知，对恒成立.
不妨取，则恒成立，即
经验证，当时，有解，即存在两条切线平行，
所以不符合题意，所以不存在符合题意的；
（2）设，因为
所以A、B两点处的切线方程分别为
令，解得，
所以“优点”的横坐标取值范围为.
（3）设，因为，
所以A、B两点处的切线方程分别为，
令，解得，
所以，设，
则，
所以单调递增，所以，即，
因为，所以，
所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数，在第一象限. 【点睛】
该题考查的是有关函数的综合题，涉及到的知识点有新定义的问题，导数的几何意义，两直线的交点，利用导数研究函数的性质，属于较难题目. 20．已知数列｛
｝的前n项和为Sn，
。
（1）若（2）数列｛
0，
，求r的值；
，且对任意的n∈N，n≥2都有
｝能否是等比数列？说明理由；
｝是等差数列。
（3）当r＝1时，求证：数列｛
【答案】（1）1；（2）不可能是等比数列；（3）详见解析. 【解析】（1）令果；
（2）假设其为等比数列，利用或
，将其回代检验得出答案；
，结合
，得到关于的方程，求解得出
，得到
，再将和用项来表示，再结合条件，求得结
（3）将r＝1代入上式，类比着写出
，进一步凑成
，从而证得数列
【详解】
（1）令n＝2，得：即：化简，得：
，因为，
，
，
，
，
，两式相减得到
，结合
是以为首项，2为公差的等差数列.
所以，（2）假设解得由可得所以
两式相减，整理得两边同除以因为
，可得
，
或
，解得：r＝1.
是等比数列，公比为，则
，
， ，
， ， ，
，且
，
，所以
所以上式不可能对任意（3）又由令
，可得时，令
可知
恒成立，故，整理得
不可能是等比数列.
，
，
，解得
， ，
，
由（2）可知所以
两式相减，整理得所以
两式相减，可得因为即所以数列【点睛】
，所以
，又因为
是以为首项，2为公差的等差数列.
，
，
，
，
，
该题考查的是数列的有关问题，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，等比数列的判断与等差数列的证明，熟练掌握基础知识是正确解题的关键，注意对定义的正确理解.
2020届江苏省泰州市高三上学期期末考试数学试题word版含解析
