2013-2014年物理奥林匹克竞赛国家集训队 热学练习题
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注意：必须写出完整步骤，否则得不到步骤分。答卷请勿涂改，无法看清的地方一律不给分。 1、（12分） 一端开口，横截面积处处相等的长管中充有压强p的空气。先对管子加热，使它形成从开口端温度1000K均匀变为闭端200K的温度分布，然后把管子开口端密封，再使整体温度降为100K，试问管中最后的压强是多大？ 2、（12分）一容积为1 升的容器，盛有温度为300 K，压强为30?10Pa的氩气，氩的摩尔质量为0.040 kg。若器壁上有一面积为1.0×10㎝的小孔，氩气将通过小孔从容器内逸出，经过多长时间容器里的原子数减少为原有原子数的 1/e？ 3、（12分）若认为地球的大气是等温的, 则把所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的厚度为H的均匀气体球壳，试证：这层球壳厚度H就是大气标高。
4、（12分） 标准状态下氦气的粘度为?1，氩气的粘度为?2，他们的摩尔质量分别为M1和M2.。试问：（1）氦原子和氦原子碰撞的碰撞截面?1和氩原子与氩原子的碰撞截面?2之比等于多少？（2）氦的导热系数?1与氩的导热系数?2之比等于多少？（3）氦的扩散系数D1与氩的扩散系数D2之比等于多少？（4）此时测得氦气的粘度
-3
2
4?1?1.87?10?3N?s?m?2和氩气的粘度?2?2.11?10?3N?s?m?2。用这些数据近似的估算碰撞截面?1,?2。
5、（12分） 在热水瓶里灌进质量为m=1.00 kg的水，热水瓶胆的内表面S=700 cm,瓶胆内外容器的间隙d=5.00 mm,间隙内气体压强p=1.00 Pa,假设热水瓶内的热量只是通过间隙内的气体的热传导而散失。试确定需要多少时间容器内的水温从90℃降为80℃，取环境温度为20℃。
6、 (12分)加热室A（1000C）中蒸发出来的铍原子（相对原子质量为9）经小孔逸出，再经狭缝准直器B而形成原子束，最后进入另一真空室D中，（1）原子束将与真空室背景分子进行碰撞，若进行1m后其原子束强度（单位时间内通过的原子数）减少为1/e。真空室温度为300K，试问真空室压强多少？设铍原子与真空中分子的碰撞截面为10?20o2
m2，
忽略铍原子间的碰撞。（2）铍原子束的平均速率是多少？（3）铍原子进行1m所需平均时间是多少？（4）估计铍原子束撞击容器壁所产生的压强（设铍原子束穿出狭缝时粒子数密度为）10cm，因真空室室温较低，所有撞击在容器壁上的铍原子均沉积在器壁上），将这一压强与真空室中气体压强进行比较。
7、 (12分) 声波可在气体管中形成驻波。现用1000Hz的声波在碘蒸气管中做实验，在温度为400K时，测得管内形成的驻波的相邻波节间距为6.77cm。试问：（1）声波的波速是多少？（2）管内碘蒸气分子是单原子分子还是双原子分子？为什么？已知碘的相对原子质量为127，声波在气体中的传播速度满足v?10?31??s关系，其中?为气体密度，?s为
气体的绝热压缩系数?s??1?V()s ， 下标“s”表示绝热过程。 V?p8、(16分) 绝热壁包围的汽缸被以绝热活塞分割成A、B两室。活塞在汽缸内可无摩擦的自由滑动。A,B内各有1mol的双原子理想气体。初始时气体处于平衡态，它们的压强、体积、温度分别为p0,V0,T0.A室中有一电加热器使之徐徐加热，直到A室中压强变为2p0,试问：（1）最后A,B两室内气体温度分别为多少？（2）在加热过程中，A室气体对B室做了多少功？加热器传给A室气体多少热量？（4）A,B两室的总熵变是多少？
1
1、（12分） 一端开口，横截面积处处相等的长管中充有压强p的空气。先对管子加热，使它形成从开口端温度1000K均匀变为闭端200K的温度分布，然后把管子开口端密封，再使整体温度降为100K，试问管中最后的压强是多大？
〖分析〗：开始时长管中气体有温度分布，所以它不处于平衡态。但是整体温度降为100K以后,长管中气体处于平衡态了。关键是求出开始时长管中气体的总的分子数，而它是和整体温度降为100K以后的分子数相等的。在计算分子数时要先求出长管中的温度分布，然后利用p=nkT公式。
〖解〗：因为管子是一端开口的，所以p?p0。显然，管子中气体的温度分布应该是
T(x)?200?（1）由于各处温度不同，因而各处气体分子数密度不同。考虑x~x+dx一段气体,它的分子数密度为n(x),设管子的横截面积为S,考虑到p=nkT,则这一小段中的气体分子数为
1000?200xL
dN?Sn(x)dx?管子中气体总分子数为
SpdxkT(x)
利用（1）式可得
SpLdxN??k?0T(x)
N?SpL800x?1??(200?)dx0kL .p?p0）,温度是T，则 管中气体最后的压强是p1（1N?SLp1/kT
由上面两式相等,最后可以计算出
p?(1/8)?p0?ln5?0.20p0即：管中气体最后的压强为0.20p0。
2、（12分）一容积为1 升的容器，盛有温度为300 K，压强为30?10Pa的氩气，氩的摩尔质量为0.040 kg。若器壁上有一面积为1.0×10㎝的小孔，氩气将通过小孔从容器内逸出，经过多长时间容器里的原子数减少为原有原子数的 1/e？
〖分析〗： 这是一个泻流问题, 可以应用气体分子碰壁数 ? 来解。应该注意, 容器内的分子数 (或者说容器内的分子数密度) 是随时间而减少的, 所以 ? 是个变量。或者说相等时间内流出去的分子数是不相等的，应该建立微分方程。考虑在 t 到 t?dt 时间内, 容器内的分子数由于泻流从 N变化为 N?dN, 其中 dN 就是在 dt 时间内泻流流出去的分子数, 列出dN 和 dt 之间的关系, 这就是解本题所需要的微分方程。经过分离变量, 积分, 就可以得到所需要的结果。
〖解〗： 在 dt 时间内在面积为 A 的小孔中流出的分子数为
-3
2
4-dN?nvAdt/4
其中 n 为气体分子数密度。考虑到气体的流出使得分子数减少, 所以在上式中加一负号。 现在在上式两边都除以容器体积 V, 并且在 0到 t 之间进行积分
?
t0?(v?A/4V)dt??n2n1(1/n)dn
现在要求容器中的原子数最后减少到 1 / e , 即
?(v?A/4V)t?ln(n2/n1)n2?n1/e,
ln(n2/n1)??1
2
t?π?MmV2π?Mm4V4V????A8RTART A?v?100s
即：经过100 s容器内原子数减为原来的 1/e。.
3、（12分）若认为地球的大气是等温的, 则把所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的厚度为H的均匀气体球壳，试证：这层球壳厚度H就是大气标高。
〖分析〗： 在离地高为 z~z?dz 的范围内的球壳体积为
[ 说明：这是因为地球大气标高只有 8 km, 它比地球半径 RE 要小得多, 所以那一层球壳相对于地球来讲相当于一层“纸”。而“纸”的体积就等于球面面积再乘以“纸”的高度。]
当然, 我们也可以如下更清楚地求出：
dV(z)?4π(RE?z)2dz （1）
dV(z)??4π[(z?dz?RE)3?(z?RE)3]34π[3(z?RE)2?dz?3(z?RE)?dz2?dz3] 3忽略dz 的二次方和三次方项, 同样有
〖解〗： 若设在海平面处的气体分子数密度 为n (0) , 在球壳体积dV( z ) 范围内的分子数
dV(z)?4π(z?RE)2dz
dN(z)?dV(z)?n(z)?4π(z?RE)2dz?n(0)?exp(?Mmgz/RT)
N?n(0)??04π(z2?2zRE?RE)?exp(?Mmgz/RT)dz2
令 RT/Mmg?H 称为大气标高, 设在海平面处的气体分子数密度为n(0)，所有大气的总分子数为N，则：
N?4πn(0)[??0z2exp(?z/H)dz?2RE??0?0zexp(?z/H)dz
2?RE?exp(?kT2kTkT21z2RE?[1??2()?2])]dz?n(0)?4πmgmg?RmgHREE
（2）
现在来估计 kT/mgRE 的数量级。设地球大气为平均温度 T = 273 K 的等温大气，而且
RE?6.4?106km,m?29?1.67?10?27kg
kT1.38?10?23?273??0.00124??1 （3） ?276mgRE29?1.67?10?9.8?6.4?10利用（3）式可以看到,（2）式的方括号中的第二项比第一项小3个数量级, 第三项又比第二项小3个数量级。我们完全可以忽略其中的第二项和第三项。 显然，用近似方法进行计算要简便得多。 这时
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