《概率论》计算与证明题 104 又 P{X?0,Y?1}?P(?)?0， P{X?1,Y?3}?P(?)?0，
P{X?2,Y?3}?P(?)?0， P{X?3,Y?1}?P(?)?0
故(X,Y)的联合分布列为：
X Y 0 1 2 3
69、解：（1）1?0?x?22?y?4241 0 3 83 1 80 0 1 82 3 80 ??k(6?x?y)dxdy?k?dx?(6?x?y)dy?k?(6?2x)dx?8k
020?11?(6?x?y),0?x?2,2?y?4故 k?，即 f(x,y)??8。
8?其它?0,（2）P{X?1,Y?3}?????13??f(x,y)dxdy??1(6?x?y)dy 0?28131?5?1?7x2?3???6?x??dx??x??? 80?2?8?22?0811（3）P{X?1.5}?x?1.5??f(x,y)dxdy??1.50dx?421.5127(6?x?y)dy??(6?2x)dx?
0832（4）P{X?Y?4}?
70、解：（1）1?G:x?y?4??4?x?1212?x22f(x,y)dxdy??dx?(6?x?y)dy????4x?6?dx?
28080?23???????????f(x,y)dxdy?x2?y2?R2??f(x,y)dxdy?x2?y2?R2??A(R?x2?y2)dxdy
??d??A?R????d??2??A?R???d??20002?RR?AR33
故A?3。 ?R32?r3322（2）P{(X,Y)?G}???(R?x?y)dxdy??d???R????d? 300?R3?Rx2?y2?r2
《概率论》计算与证明题 105 6?R???r2(3R?2r) ?3????R?23?0R3
71、解：（１）(X,Y)的分布函数为
23rF(x,y)??x???y??f(u,v)dudv??6dudv
??????2(4?u2)(9?v2)xy?x??y??1??23x???1??y?????dudv??arctan?arctan?????????????? 2???(4?u2)?(9?v)?22?23?????????????1??x???y??arctan?arctan??? 2???22??23?1??x?1??y??arctanF(y)??arctan，Y????。 ??22???23?（２）FX(x)?F(x,??)?
72、解：当x?0时 fX(x)??????f(x,y)dy??????e?ydy?e?x；
?e?x,x?0当x?0时，f(x,y)?0，故fX(x)?0。得fX(x)??
其它?0,?xe?ydy,y?0?ye?y,y?0???同理fY(y)???0
其它?其它?0,?0,
?1(y?b)2?,?a?x?a12?73、解：X的概率密度fX(x)??2a； Y的概率密度FY(y)?e2?；
2?b?0,其它?则Ｚ的概率密度fZ(z)??????fX(x)fY(z?x)dx??z?a?b?t2211e?a2a2??a?(z?x?b)22?2dx
??
1?z?a?be?22?a?dt?1??z?a?b??z?a?b?????????? ?2a????????74、证： Q?,?,?的地位对称
?只证?与?独立即可知?,?,?两两独立。
???(?,?)的联合密度是：p(x,y)?????1?p(x,y,z)dy??4?2??00?x,y?0其它
《概率论》计算与证明题 106 ?1??P?(x)??2???0?1? 同理P?(y)??2???00?x?2?其它 ( 得4分)
0?y?2?其它?1? P?(y)??2???00?y?2?其它
故P??(x,y)?P?(x)?P?(y)??与?独立 但P?(x)P?(y)P?(z)?P?(x)?P?(y)?P?(z) 故?,?,? 不相互独立。
z1z2?x??z1?x?y?u?????z1??1?z2x 逆变换?? 即?75、证：令? J? ?2z2?v?z1(1?z2)???y?y????1?z2? 故P???,?(z1,z2)?P(??z1z2zz1,1)|J|?e?z1,z1?0,z2?0 21?z21?z2(1?z2) 而P???(z1)??00e?z1z1?z1dz?ze,z1?0 212(1?z2) P?(z2)????e?z1z11dz?,z2?0 122(1?z2)(1?z2) 因P???,?(z1,z2)?P???(z1)P?(z2)对?z1,z2
?? 故 ??? 与
?独立。 ?76、证：显然 p(x)?0 而
?????p(x)dx????n21n2?()20xnx?1?22edx
y?2ye?2dy?0n22?()2 ny?11?y2?yedy?1??8分n?0?()2?nx21??n?12n?1?y2
《概率论》计算与证明题 107
77、证：P(??k)??1kk!ne??1?2???p(??r)?e
?!2 ?P(??n)??k?0?1kk!e??1?2n?k(n?k)!e??21?(???21)nn!?1k?2(n?k) ?e?n!k?0k!(n?k)!(?1??2)n?(?1??2)?e
n!
78、证：f(x)?0，且
??1?|x|edx??e?|x|dx??e?x
0??2???????f(x)dx???f(x)是一个密度函数。
79、证：（1）设x2?x1,F(x2)?F(x1)?P{x1???x2}?0，所以F(x2)?F(x1)，F(x)非降。
（2）设x???xn?xn?1???x1?x0，x1?x由概率的可加性得
???P??(xi?1???xi)??P{x???x0} ?i?0???F(x)?F(x)??F(xii?1i?0?0)?F(x)。
由此得 F(x0)?F(x)?lim?F(x0)?F(x)?，
n???F(x)?limF(xn)?F(x?0),F(x)右连续。
n??（3）1?P{??????}??n???P{n???n?1}
n??m?????n????F(n?1)?F(n)??limF(n)?limF(m)。
由单调性得limF(x)与limF(x)均存在且有穷，由0?F(x)?1及上式得F(??)?0,F(?)?1。
x???x??
80、证：P{x1???x2}?P{??x2}?P{??x1}?P{??x2}?(1?P{??x2})
?P{??x2}?P{??x1}?1?(1??)?(1??)?1?1?(???).
∴不等式成立
《概率论》计算与证明题 108 x?(??,0]?0,?81、证法一：定义F(x)??P{0???x},x?(0,1]则F(x)是?的分布函数。由题设得，对任意
?1,x?(1,?)?2x?[0,1]有P{0???x}?P{x???2x}，即有P{0???2x}?2P{0???x}。由此得
1xF(2x)?2F(x)。逐一类推可得，若nx?[0,1]，则F(nx)?nF(x)，或者F(x)?F()。从而对
nn有理数
mm?m?mF(x)。再由F(x)的左连续性可得，对任意无，若x与x都属于[0,1]，则有F?x??nn?n?n理数a，若ax与x都属于[0,1]，则F(ax)?aF(x)。 因为区间[0,1)与[0,1]的长度相等，由题设得
F(1)?P{0???1}?P{0???1}?1.
由此及上段证明得，对任意x?[0,1]有F(x)?xF(1)?x，即F(x)为
?0,x?0?F(x)??x,0?x?1
?1,x?1?∴ ?服从[0,1]上均匀分布。
证法二：如同证法一中定义?的分布函数F(x)，由F(x)单调知它对[0,1]上的L－测试几乎处处可微。设x1,x2?(0,1)，当x1??x?[0,1](i?1,2)时，由题设得
F(x1??x)?F(x1)?P{x1???x1??x}
?P{x2???x2??x}?F(x2??x}?F(x2)
等式两端都除以?x，再令?x?0可得，由F'(x1)存在可推得F'(x2)也存在，而且
F'(x2)?F'(x1)。从而对任意x?(0,1)有F'(x)?c。当x?[0,1]时显然有F'(x)?0。一点的长度
为0，由题设得P{??0}?P{??1}?0。由上所述可知?是连续型随机变量，F'(x)是其密度函数，从而定出c?1。至此得证?服从[0,1]均匀分布。
82、证：分别对固定的x0和y0有 F(x0,y)??
由上式显然可得F(x,y)对每个变元非降，左连续，而且满足(2.6)及(2.7)，即F(??,y)?0,
?1,?0,y??x0?1,x??x0,F(x,y0)??y??x0?0,x??y0。
概率论答案 - 李贤平版 - 第三章
