《概率论》计算与证明题 99
??55、解：
0 1 2 ?01?t2edt ??服从?N(0,1) 2?2 0 4/16 4/16 1/16 1 4/16 2/16 0 2 1/16 0 0
?1 p(./?2?1) 0 1 2
56、解：当y?0时，F?(y)?0, 当y?0时，
2/3 1/3 0 F?(y)?P(??y)?P(?y???y)??y??1e2,y?0? ?P?(y)?F??(y)??2?y?0,y?0?2y?y?(x)dx
57、解：Pij?P(?i?i,?2?j)?pq pi(1)2j?2(q?1?p,i?j,j?2,3,?)
?p(?1?i)?pqi?1(i?1,2,?)
pj p((2)?p(?2?j)?(j?1)p2qj?2(j?2,3,?)
?1?i1)?(i?1,2,?)
?2?jj?1 p(
?2?j)?pqj?i?1(j?i?1?) ?1?i58、解：X的所有可能值为r,r?1,r?2,L。事件{X?i}表示第i次试验取得第r次成功。前面(i?1)次
试验中，有(r?1)次成功，有(i?1)?(r?1)?i?r次失败。这相当于在(i?1)个位置中，取(r?1)个位置，情况总数为Ci?1。有{X?i}?{前(i?1)次试验有(r?1)次成功，第i次为成功}，故
1r?1i?1P{X?i}?Cir??qp?Cir??11prqi?r?r,r?1,r?2,L 1pr?1注：X服从的分布称为帕斯卡分布。当r?1时
P{X?i}?qi?1p称为几何分布。
59、解：首先求一只电子管工作1000小时以上的概率。p?i?1,2,L
1?Fx?1?10001000e1000dx?e?0.3679
??
《概率论》计算与证明题 100 只有当5只电子管皆工作在1000小时以上，仪器才能工作1000小时以上。又“每只电子管工作1000小时以上”是相互独立的，所以所求概率为 p?0.00673， 此概率很小。
60、解：（1）利用概率密度的性质
????5?f(x)dx?1，即可确定A。
2??故A??0?x?Axedx?A??e?kx??k?2?kx02A??kx2A?xedx??1 k?0k313k 2?? （2）P?0?X?
k2?kxkx?2kx?2?kx1?xedx??e???k?221k02221k0?1?5 2e61、解：（1）当x?0时， F(x)?P{X?x}?0
当0?x?1时，F(x)?P{X?x}?P{X?0}?1 3111?? 362当1?x?2时，F(x)?P{X?x}?P{X?0}?P{X?1}?当x?2时， F(x)?P{X?2}?P{X?0}?P{X?1}?P{X?2}?1
?0,?1?,?3故F(x)???1,?2?1,?（2）P?X?x?00?x?1
1?x?2x?2??3??3?1??F??? 2??2?2P?1?X?4??F?4??F(1)?1?11? 22112?? 263P?1?X?4??P(1?X?4)?P{X?1}?F?4??F(1)?P{X?1}?或这样做：因区间[1，4]包含二个可能值1,2，它对应的概率分别为
11，。故 62
《概率论》计算与证明题 101 P?1?X?4??P{X?1}?P{X?2}?
62、解：X的可能值0,1,2。因是不放回抽样，故
112?? 263031221C2C1322C2C1312C2C131；P?X?1??；P?X?0????PX?2?? ??33C1535C1535C1535故X的分布列为
X p 0 1 2 22121 353535?0,?22?,?35X的分布函数为F(x)???34,?35?1,?
x?00?x?1
1?x?2x?21363、解：（1）Y?X，为单调增函数，反函数为x?y，故
3?1?2?1fY(y)?fx(y)?y3??f?3?3（2）fX(x)??
13?y?y3?23(y?0)
??e?0,??x?1??3y?2,x?0y3,??e，利用（1）的结果，有fY(y)??3x?0?0,?y?0y?0
?1,5?x?664、解：Y?X fX(x)??
0,其它4??2当
25???y?9?时，y?x2单调增。x?444y??2y??h(y)，h'(y)?1?y。故当
1125?。而当y取其它值时，fY(y)?0，故 ??y?9?时，fY(y)?1?4?y?y25?1,??Y?9??4fY(y)???y
?0,其它?65、解：?的概率密度
《概率论》计算与证明题 102 ???1?????,????f?(?)???22。函数V?Asin?在??,?上单调增，故其反函数
?22??0,其它???h(v)?arcsinv单值。 A当|v|?A时 ，V的概率密度 fV(v)?0 当|v|?A（即?A?v?4）时 h'(v)?1?2A?v?1????A?111A?v12
fV(v)??|h'(v)|??A?v2
1?,?A?v?A?2故 fV(v)???A?v
?0,其它?
66、解：（1）p11?P{X?0,Y?0}?P{X?0}P{Y?0}?101025， ??121236p21?P{X?1,Y?0}?P{X?1}P{Y?0}?p12?P{X?0,Y?1}?P{X?0}P{Y?1}?p22?P{X?1,Y?1}?P{X?1}P{Y?1}?2105??， 1212361025， ??121236221 ??121236故(X,Y)的联合分布列及关于X,Y的边缘分布列为：
X Y 0 1 0 1 255 363611 33651 66pi? 1 181 6p?j 1 （2）p11?P{X?0,Y?0}?P{X?0}P{Y?0|X?0}?1095??， 121122p21?P{X?1,Y?0}?P{X?1}P{Y?0|X?1}?2105??， 121133
《概率论》计算与证明题 103 p12?P{X?0,Y?1}?P{X?0}P{Y?1|X?0}?p22?P{X?1,Y?1}?P{X?1}P{Y?1|X?1}?故联合分布列及边缘分布列如下： X Y 0 1 1025， ??121133211 ??121166pi? 5 61 60 1 515 332251 336651 66p?j
1 013C3C2C3267、解：P{X?0,Y?0}?P(?)?0， P{X?0,Y?1}?， ?4C870022103C3C2C33C3C2C33，， P{X?0,Y?2}??P{X?1,Y?0}??C8470C8470112111C3C2C318C3C2C39，P{X?1,Y?1}??P{X?1,Y?2}?? 44C870C870 同样，可计算其它情况。(X,Y)的联合分布列为：
X Y 0 1 2 3
68、解：当连掷3次出现反面时，(X,Y)的取值为(0,3)；出现1次正面，2次反面时，(X,Y)的取值为
1次反面时，(X,Y)的取值为(2,1)；出现3次正面时，(X,Y)的取值为(3,3)。(1,1)；出现2次正面，有
0 0 3 709 703 701 2 7018 7018 702 702 3 709 703 700 3?1?11?1??1?P{X?0,Y?3}????， P{X?1,Y?1}?C3???????，
?2?8?2??2?8?1??1?3?1?1P{X?2,Y?1}?C32???????， P{X?3,Y?3}????，
?2??2?8?2?8
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概率论答案 - 李贤平版 - 第三章
