《概率论》计算与证明题 94
39、解：|B?1|?27,|B|?
11. ?|B?1|27p(x,y,z)?(2?)?(2?)11n2|B|12?1?exp??(x?a)B?1(x?a)??
?2??rjk(x1?a1)(xk?ak)? ?j,k?1?n11n2?1exp??12?2|B|?(2?)132?1?exp??(7x2?4y2?2z2?6xy?4xz?2yz)?. 1?2?27(?1,?2)的边际密度函数为（积分时在指数中对z配方）
p(x,y)?????p(x,y,z)dz?(2?)132127e11?(5x2?3y2?4xy)22????e1?(z?x?y)22dz
令z?x??21y?t，利用?e?tdt??得
??2p(x,y)?361?1?exp??(5x2?4xy?3y2)?。 4?2?2?
40、证：以f记?的密度函数，则(?,?)的联合密度为f(x0f(y)。作变换，令s?x?y，t?x?y得
x?111(s?t),y?(s?t),|J|?。若改记s为x，t为y，则由此可得(???,???)的联合密度222为
1?1??1?f?(x?y)?f?(x?y)?。另一方面，由卷积公式得???和???的密度分别为 2?2??2?g(x)??故由???与???独立得
???f(x?s)f(s)ds, h(y)?????f(y?t)f(t)dt.
12
?1??1?f?(x?y)?f?(x?y)??g(x)h(y)。 ?2??2?令m(x)?logf(x)（此处用了f(x)?0），则有
?1??1?m?(x?y)??m?(x?y)??logg(x)?log2h(y)。 ?2??2?
《概率论》计算与证明题 95
由假定知m(x)有二阶导数，上式对x求导得
?x?y??x?y??x?y??x?y?'m'?????m?????(logg(x))x ?2??2?x?2??2?x再对y求一次导数得
''1?1?1?1?m???(x?y)??m???(x?y)??0. 4?2?4?2?对任意u,v，选择x,y使u?11(x?y),v?(x?y)则由上式得m??(u)?m??(v)?0. 2222由u,v的任意性得m????常数，因而m(x)?a?bx?cx，即有f(x)?exp(a?bx?cx). 所以?,?，从而???,???均匀正态分布。
41、证：（1）若??f?1???B?????，则f(?)??B?，必存在某个?0??使f(?)?B?0，亦有
?????????????f?1(B?0)，从而???f?1(B?)，
?
反之，若???1??1?1??f(B)?fB??????? （1） ?????????1f?????1(B?)，必存在某个?0??使??f(B?0)亦有f(?)?B?0，即f(?)??B?，
???从而??f???B?????， ????????1?f?1?B???????f(B?)。 （2）
????????
由（1），（2）式即得（和集的逆像等于每个集逆像的和）
???1?f?1?B?f(B?)。 ?????????????（2）若??f?1???B?????，则f(?)??B?，即f(?)属于每个B?(???)，得??f?????????1(B?)（对
任一???），从而????f?1?B??，
???1?1??f(B)?fB???????。 （3）
??????????反之，若??
??f?1?B??，则?属于每个f?1?B???(???)，亦有f(?)属于每个B?(???)，
?? 《概率论》计算与证明题 96
即f(?)???1?B，从而???fB???????，
???????????1??f?1?B?f(B?)。 （4） ?????????????由（3），（4）式即得（交集的逆像等于每个集逆像的交）
???1?f?1?B?f(B?)。 ?????????????（3）若??f?1(B)，则f(?)?B，亦有??f?1(B)，从而??f?1(B)，所以
f?1(B)?f?1(B)。反之，若??f?1(B)，则??f?1(B)，亦有f(?)?B，即f(?)?B，从
而??f?1(B)，所以f?1(B)?f?1(B)。
?1由以上证明可得f
42、解：(1) 由
??(B)?f?1(B)，即互为对立事件的逆像也是互为对立的事件。
1???f(x)dx?1 得?cx2dx?1?c?3
0 (2) 由P(??a)?P(??a)得： 故a?1?a?a?
43、解：设?是所抽卡片的号数，记A?333?a03x2dx??3x2dx
a11 2n(n?1),则?的分布列是: 2?1?1??A
2?2?An?nn12n?1n?由E???k?P(??k)??k2? ?A3k?1k?1A?244、解: 当(?,?)~N(a1,a2,?1,?2,r)时?~N(a1,?1)且在??x条件下?的分布是
???N?a2?r2(x?a1),?22(1?r2)? 由此比较题中条件可知:
?1??a1?m,?1??,a2?m,?2222?2????,r?2
???2222故在y=?条件下, ?的条件分布 N(a1?r?12(y?a2),?1(1?r2)) 它的密度函数为 ?2?1[?2(x?m)??2(x?y)]2??2??2P(x|y)?exp??? 22222?????(???)?2?
《概率论》计算与证明题 97
?45、解：由题设((?,?)的分布密度函数是：P(X,Y)??1?a2(x.y)?[0.a]?[0.a]
??0其它由商的密度计算公式X???的密度?(z)??????P(yz,y)|y|dy得：
???0z?0 p(z)???10?z?1
?2??1?2z2z?1
46、解：1)由
??????????f(x.y)dxxdy?1 得 A?4
y)???2e?2y2) Q?的边际密度是?y?0?(
?0y?0 ?当y?0时，??y的条件下?的条件密度为f?2e?2x ?|?(x|y)??x?0x?0 ?0
47、解：设所取二数为X,Y，则它们是独立的均服从（0,4）上的均匀分布
? ? (X,Y)的密度函数为p(x,y)??1?,(0?x?4,0?y?4)?16
?0,其它 ?p(xy?4)?,y)dxdy?1?ln40???p(xxy?44
48、解：1)由
??33p?1 得：A?1
i?1j?1ij8
?2)在?=2时，?的条件分布列为P（??k???2)?P(??k,??2)P(??2) 得
??1?2?11
49、解：?(?,?)的联合密度为：p(x,y)?12?exp????12(x2?y2)??? x?1( 令??s?x?ys?t)?t?x?y?2 ?(x,y)1y?1 ?(s,t)?2 2(s?t)
0613??1111? ? 《概率论》计算与证明题 98
?(u,v)的联合密度为:
11(s?t)2(s?t)2111s2t2exp{?[?]}??exp{?[?]} ?uv(s,t)?2?24424?222 ?u:的边际密度是：?u(s)?
1?4e 同理V的边际密度为: ?v(t)?4?x?00?x?1 x?14s21?4e 4?t2?0?450、解： ?的分布函数F(x)??P(y)dy??x???1?x4 (1) 由1-F(a)?F(a) , 得a?0.5 则a?40.5
4 (2) 由1-F(b)?0.05, 得1-b? 0.05 则b?
51、解： 设?为旅客的候车时间，则?在[0,2]上均匀分布 则E??
52、解：1) p?(x)?0.95
?2022(x?1)1xdx? dx?1 D(?)??0232D(?)?1?0.577 3????p(x,y)dy??6xy(2?x?y)dy?4x?3x2,0?x?1 则
01P?(z)?P2??3(z)? 2) P??(yx)?1z?31z?33z?32322651P()??4??()??z?z?,(3?z?5) ?2222228886y(2?x?y),(0?x?1,0?y?1)
4?3x11P{??,??}1122? 3) P{????)?122P(??)2
53、解：1)P???(Z)?z??1122006xy(2?x?y)dxdy120??(4x?3x2)dx1 3??P(x,z?x)dx?2?e?(2x?z?x)dx?2e?z(1?e?z) Z?0
??02)P{????2}??P??(z)dz?(1?e0?2?22)
3)P{??1|??2}?122?P(??1,??2}???2e?(2x?y)dxdy/?(?2e?(2x?y)dx)dy?1-e-2 0000P(??2)54、解：p(??y)?p(a?????a1?y)?p(??a??y)??e0?2???(x?a)22?2dx
概率论答案 - 李贤平版 - 第三章
