《概率论》计算与证明题 84
18、解：（1）边际分布的密度函数为，当x?[0.1]时f?(x)?0；当0?x?1时，
f?(x)?????f(x,y)dy??4xydy?2x
01同理，当y?[0.1]时f?(y)?0；当0?y?1时f?(y)?2y。f(x,y)?f?(x)f?(y)，所以?与?独立。
（2）边际密度函数为，当x?[0.1]时f?(x)?0；当0?x?1时
f?(x)?????f(x,y)dy??8xydy?4x(1?x2)
01当y?[0.1]时f?(y)?0；当0?y?1时
f?(y)?????g(x,y)dx??8xydx?4y2
01在区域0?y?1中均有g(x,y)?f?(x)f?(y)，所以?与?不独立。
19、证：当0?x?2?,0?y?2?时 ，?与?的联合分布密度为
p??(x,y)??2?011?z???sinxsiny(?cosz)?； 32?8?3(1?sinxsinysinz)dz?8?4???02?其余p??(x,y)?0。当0?x?2?时，
p??(x)??2?0dy?2018?3(1?sinxsinysinz)dz?1； 2?其余p?(x)?0。由于?,?,?三者在密度函数的表达式中所处地位相同，故得当
2当0?y?2?,0?z?2?时，p??(y,z)?1/4?；0?x?2?,0?z?2?时，p??(x,z)?1/4?2；
当0?y?2?时，p?(z)?1/2?；当0?z?2?时，p?(z)?1/2?；在其余区域内，诸边际密度函数均取0值。由于
p??(x,y)?p?(x)p?(y), p??(x,z)?p?(x)p?(z),p??(y,z)?p?(y)p?(z),故?,?,?两两
独立；但当0?x?2?,0?y?2?,0?z?2?时有p(x,y,z)?p?(x)p?(y)p?(z)，故?,?,?不相互独立。
20、证：当|x|?1时，p?(x)?????p(x,y)dy??1?xy1dy?，
?1421其余p?(x)?0。同理当|y|?1时，p?(y)?1/2其余p?(x)?0当0?|x|?1, 0?y?1时有
p(x,y)?p?(x)p?(y)，所以?与?不独立。
现试能动分布函数来证?与?独立。?的分布函数记为F1(x)，则当0?x?1时，
222 《概率论》计算与证明题 85
F1(x)?P{?2?x}?P{?x???x}??同理可求得?的分布函数F2(y)，得
2x?x1dx?x； 2x?0?0,?F1(x)??x,0?x?1?1,x?1,?y?0?0,?F2(y)??y,0?y?1
?1,y?1,?(?2,?2)联合分布函数记为F3(x,y)，则当0?x?1,y?1时
F3(x,y)?P{?2?x,?2?y}?P{?2?x}?x
同理得当0?y?1,x?1时F3(x,y)?y；当0?x?1,0?y?1时
F3(x,y)?P{?2?x,?2?y}?P{?x???x,?y???y}
=
?x?xds?y?1?stdt?xy
y4?0,?x,??合起来写得 F2(x,y)??y,?xy,???1,x?0或y?00?x?1,y?1 0?y?1,x?10?x?1,0?y?1x?1,y?122不难验证F3(x,y)?F1(x)F2(y)对所有x,y都成立，所以?与?独立。
21、证：（1）由褶积公式及独立性得
P{?1??2?k}??P{?1?i,?2?k?i}??P{?1?i}P{?2?k?i}
i?0i?0kk??i?0ki?1i!e??1?e(k?i)!?1?k2??21?(?1??2)kk!ik?1?e?1?2 ?k!i!(k?1)!i?0(?1??2)k?(?1??2)?e k?0,1,2,?
k!这就证明了?1??2具有普阿松分布，且参数为?1??2 （2）P{?1?k|?1??2?n}?P{?1?k,?1??2?n}
P{?1??2?n}P{?1?k,?2?n?k}P{?1?k}P{?2?n?k}?
P{?1??2?n}P{?1??2?n}?
《概率论》计算与证明题 86
?k?1k!e??1??k?n2(n?k)!ke??2(?1??2)n?(?1??2)?e
n!n?k?n???1???????????k???12?
22、证：由题设得
??2????????2??1证毕。
P{??1}?P({??1,??1}?(???1,???1})?11111????， 2222211111????。 22222P{???1}?P({??1,???1}?(???1,??1})?P{??1,??1}?P({??1}?[{??1,??1}?(???1,???1}])
?P{??1,??1}?P{??1}P{??1}?1?P{??1}P{??1}， 4P{??1,???1}?P({??1}?[{??1,???1}?(???1,??1}])
?P{??1,???1}?P{??1}P{???1}?1?P{??1}P{???1}， 4同理可证 P{???1,??1}?P{???1}P{??1}，P{???1,???1}?P{???1}P{???1}. 所以?与?相互独立。用同样的方法可片?与?也相互独立。但
P{??1,??1,??1}?P({??1,??1}?[{??1,??1}?{???1,???1}])，
1P{??1}P{??1}P{??1}?，
8所以?,?,?只两两独立而不相互独立。
23、解：P{??k}??kk!e??,k?0,1,2?，
由此得（1）P{??ak?b}??kk!e??,k?0,1,2?，
（2）P{??k}?
2?kk!e??,k?0,1,2?。
24、解：（1）由P{??0}?0知，?以概率1取有限值。当y?0时，
《概率论》计算与证明题
0??1??1?F?(y)?P??y??P{??0}?P??????p(x)dx??1p(x)dx；
??y?????y87
当y?0时，
0?1??1?F?(y)?P??y??P????0???1p(x)dx；
????y?y当y?0时，
F?(y)??0??p(x)dx。
?k??arctgy????F(y)?P{tg??y}?p(x)dx （2）??P???{k??2???k??arctgy})?? ??k???k???2?k????（3）当y?0时，F?(y)?0；当y?0时，
F?(y)?P?|?|?y??P??y???y???
25、解：设直径为随机变量d，则
y?yp(x)dx。
?1,a?x?b?pd(x)??(b?a)。
?其它?0,圆面积S?1211?d。当?a2?y??b2时， 444??12?Fa(y)?P{S?y}?P??d?y??P?d??4??4y??????a4y?1dx； b?a当y?121?a时Fa(y)?0；当y??b2时Fa(y)?1。由此对Fa(y)求导（利用对参数积分求导法则）4412111?a或y??b2时pa(y)?0；当?a2?y??b2时 4444得圆面积的分布密度为，当y?pa(y)?F'a(y)?
?y(b?a)?y。
26、解：?与?的密度函数为
?1,0?x?1 （1） p?(x)?p?(x)??0,其它?由卷积公式及独立性得?????的分布密度函数为 y p?(y)??
???p?(x)p?(y?x)dx （2） 2 C 《概率论》计算与证明题 88
把（2）与（1）比较知，在（2）中应有0?x?1，
0?y?x?1，满足此不等式组的解(x,y) 构成 D 图中平面区域平形四边形ABCD，当0?y?1时 1 B 0?x?y ,当1?y?2时y?1?x?1。所以当 A0 1 x 0?y?1时（2）中积分为 p?(y)??1?1dx?y
0y当1?y?2时，（2）中积分为 p?(y)?对其余的y有p?(y)?0。
27、解：p?(x)?p?(x)??1y?11?1dx?2?y;
12?e1?x221?2(x2?y2)e， p??(x,y)? 2?1由求商的密度函数的公式得
1?2(x2y2?x2)2edx?p?(y)??|x|p(xy,x)dx????|x|??2?2???1??0xe1?x2(1?y2)2dx
111??2x2(1?y2)?1???e?, ???y??? ??22?1?y??0?(1?y)???
?服从柯西分布。 ?111(s?t),y?(s?t),|J|?。由?与?独立知，它们222221??s?t??s?t??????????2???2??2???28、解：作变换，令s?x?y,t?x?y，得x?的联合密度应是它们单个密度的乘积，由此得U，V的联合密度函数为
pUV(s,t)? ?12?1e4?e1?x22??12?e11?y22?|J|?e1?s?????2??2?21e2??1 21?(s2?t2)42??2?12??2e1?t?????2??2?2?pU(s)pV(t)
所以U,V两随机变量也相互独立，且均服从N（0，2）。
29、解：当y?0时由独立性得
1?F?(y)?P{??y}?P{?1?y,?2?y,?,?n?y}
??P{?1?y}??(1?F?i(y))??(ei?1i?1i?1nnn??iy)?exp(?y??i)
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概率论答案 - 李贤平版 - 第三章
