概率论答案 - 李贤平版 - 第三章

由天下分享时间：2024/8/15 16:22:33 加入收藏我要投稿点赞

《概率论》计算与证明题 79

F(1)?P{0???1}?P{0???1}?1.

由此及上段证明得，对任意x?[0,1]有F(x)?xF(1)?x，即F(x)为

?0,x?0?F(x)??x,0?x?1

?1,x?1?∴ ?服从[0,1]上均匀分布。

证法二：如同证法一中定义?的分布函数F(x)，由F(x)单调知它对[0,1]上的L－测试几乎处处可微。设x1,x2?(0,1)，当x1??x?[0,1](i?1,2)时，由题设得

F(x1??x)?F(x1)?P{x1???x1??x}

?P{x2???x2??x}?F(x2??x}?F(x2)

等式两端都除以?x，再令?x?0可得，由F'(x1)存在可推得F'(x2)也存在，而且F'(x2)?F'(x1)。从而对任意x?(0,1)有F'(x)?c。当x?[0,1]时显然有F'(x)?0。一点的长度为0，由题设得由上所述可知?是连续型随机变量，F'(x)是其密度函数，从而定出c?1。P{??0}?P{??1}?0。至此得证?服从[0,1]均匀分布。 10、证：（1）f?(x)??(x?m)2?1exp??? 22?2?????(x?m)2??11?2?exp??ln??ln2??exp??(x?m)?ln?? ?0222?2????2???

若令Q(?)??1,T(x)?(x?m0)2,D(?_??ln?， S(x)??ln2?，则有 2(2)f?(x)?exp{Q(?)T(x)?D(?)?S(x)}

2这就证明了正态分布M(m0,?)是单参数?(??0)的指数族。

（2）fm(x)?2??(x?m)??exp??? 2?2?0?2??0??1?12??0??x2?2mx?m2?m2x21??mx??exp???lnexp???? ?22222??2?02?02??0?????0??12mmx212,T(x)?x,D(m)?,S(x)??ln若令Q(m)?，则 2?02?022?02??0

《概率论》计算与证明题 80

fm(x)?exp{Q(m)T(x)?D(m)?S(x)}

所以正态分布N(m,?0)是单参数m(???m??)的指数族。（3）p(k;?)?2?kk!e???exp{kln????lnk!}。

若令Q(?)?ln?,T(k)?k,D(?)???,S(k)??lnk!，则

p(k;?)?exp{Q(?)T(k)?D(?)?S(k)}，所以p(k;?)是单参数?(??0)的指数族。

（4）关于[0,?]上的均匀分布，其密度函数为f?(x)???1/?,0?x??

x??或x?0?0,f?(x)是定义在???x??的函数，由于它是x的分段表示的函数，所以无法写成形式 f?(x)?exp{Q(?)T(x)?D(?)?S(x)}故f?(x)关于?不是一个单参数的指数族。

，

11、证：必要性：

??f(x,y)dxdy???ke令u?x?b?a(x?y)2a?e?ac?b2yadxdy

bby,v?y，得y?v,x?u?v,J?1。设 aa??

f(x,y)dxdy??2???ke?audu?e??2??ac?b22vadv

2要积分收敛，必须a?0,(ac?b)/a?0，由此得应有ac?b?0以及c?0。利用

????e?u2du??可得

?∴ k????ke?audu?e??2??ac?b22vadv?k?1a??aac?b2??1

ac?b2?

从而题中所列条件全部满足。以上诸步可逆推，充分性显然。

12、解：设f(x,y)?f1(x)f2(y)?h(x,y)是密度函数，则由f(x,y)?0得h(x,y)??f1(x)f2(y)。又

1???f(x,y)dxdy??f1(x)dx?f2(y)dy???h(x,y)dxdy?1???h(x,y)dxdy，

所以应有

??h(x,y)dxdy?0。

??h(x,y)dxdy?0，显然有f(x,y)?0且

反之，若h(x,y)??f1(x)f2(y)，h(x,y)可积且

《概率论》计算与证明题 81

??f(x,y)dxdy?1，即f(x,y)是密度函数。

所以为使f(x,y)是密度函数，h(x,y)必须而且只需满足h(x,y)??f1(x)f2(y)且

??h(x,y)dxdy?0。

?13、解：（1）1????2x?0Aedx?e?ydy?A???1e?2x?0?2?????e?y|?0??A2,A?2 0（2）P???2,??1???22e?2xdx?10e?ydy???e?2x|200???e?y|1?40??(1?e)(1?e?1)。（3）?的边际分布，当x?0时f?(x)?0，当x?0时有

f?(x)???02e?2xe?ydy?2e?2x.

（4）P?????2???202e?2xdx?2?x0e?ydy

??22?2x(2?x)2?2x0e(1?e?dx?0(2e?2e?(2?x)dx

?(1?e?4)?(2e?4?2e?2)?1?e?4?2e?2?(1?e?2)2.

（5）当x?0,y?0时f(x|y)?0；当x?0,y?0时有

x|y)?f(x,y)?2e?(2x?y)f(e?2e?2xf?y. ?(y)（6）P{??1}??1??(2x?y)??(2x?y)0dy?02edx??1e?y0dy?02edx??e?y1?10?1?e,

利用（2）的结果可得

P???2,??1??P???2,??1?(1?e?4)(1?e?1)P???1??1?e1?1?e?4?.

14、证：设多项分布为

P{?1?k1,?,?r?kr}?n!pk1krk1?p1， 1!?kr!rki?0,?rki?n,i?1?pi?1。 i?1利用（2）可以把（1）改写成

P{?1?k1,?,?r?1?kr?1}? ?n!pk1krn?k1???kr?1k1?p1?(1?p1???pr?1) 1!?kr?1!(n?k1???kr?1)!由边际分布的定义并把（3）代入得

1）

2）

3）

（（（《概率论》计算与证明题 82

P{?1?k1,?,?r?2?kr?2}?kr?1k1???kr?1?n,kr?1?0?P{?1?k1,?,?r?1?kr?1}

n?k1??kr?2r?2n!p1k1?prk?(n?k1???kr?2)!2r?1???prk?1? k1!?kr?2!(n?k1???kr?2)!kr?1?0kr?1!(n?k1???kr?1)!?(1?p?k1???kr?11???pr?2pr?1)n

由二项式定理得

P{?1?k1,?,?r?2?kr?2}? ?n!pk1kr?2n?k1???k2k1?pr?2?(1?p1???pr?2) 1!?kr?2!(n?k1???kr?2)!把（4）与（3）比较知，边际分布仍服从多项分布。多次类推可得

P{??n!1?k1}(n?kpk1n?k1k1(1?p1)

1!1)!从而知任意边际分布均服从多项分布（包括二项分布）。、解：（1）?的密度函数为，当x?0时p?(x)?0；当x?0时，注意积分取胜有选取，得

p?(x)?????p(x,y)dy???1k1?12?1x?(k)?(k?x(y?x)k??ydy(令y?x?1)

12)?xk1?1?xk1?1k?x?(k(t2?1e?xe?tdt?e. 1)?2)?0?(k1)（2）?的密度函数为，当y?0时p?(y)?0；当y?0时，

py?(y)?????p(x,y)dx??1x?(k?xk1?1(y?x)k2?1??ydx

1)?(k2)令x?yt，当x?0时t?0，当x?y时t?1，所以

py)?e?yyk1?1yk2?1??1?(tk1?1(1?t)k2?1?(k1)?(k2)0ydtyk1?k2?1?e?y1?(k?B(kyk1?k2?1e?y?(k1)?(k2)1,k2)??(k??yk1?k2?1e?y 1)?(k2)1)?(k2)?(k1?k2)?(k1?k2)其中用到??函数与??函数的关系式。、证：我们有

0?Fi(xi)?1,1?2fi(xi)?1?2?1?1,

?1?[2F1(x1)?1][2F2(x2)?1][2F3(x3)?1]?1,

（4）

《概率论》计算与证明题 83

代入f?(x1,x2,x3)的表达式得 f?(x1,x2,x3)?0 (1) 又有

??2F(x)?1?f(x)dx???2F(x)?1?dF(x)??F????iiiii??iiii21(xi)?Fi(xi)?????0

????f?(x1,x2,x3)dx1dx2dx3?????f1(x1)dx1????f2(x2)dx2????f3(x3)dx3?1 (2)

由（1），（2）知f?(x1,x2,x3)是密度函数。用与上面类似的方法计算可得边际密度函数为

????f?(x1,x2,x3)dx2dx3?f1(x1), ???f?(x,x,x)dxdx12312?f3(x3)

???f?(x,x,x)dxdx12313?f2(x2).

17、解：

（1）为求(?,?)的联合概率分布，分别考虑下列三种情况：(i,k?1)其中利用到独立性。