概率论答案 - 李贤平版 - 第三章

由天下分享时间：2024/8/13 17:51:25 加入收藏我要投稿点赞

《概率论》计算与证明题 74

?Ax2e?kx,x?060、设连续随机变量X的概率密度为f(x)??，其中k为已知常数。求：（1）常数A；（2）

其它?0,1??P?0?X??。

k??61、设离散随机变量X的分布列为：

1 2 X 0

p 1 1 1 求：（1）X的分布函数F(x)；（2）P?X?362??3??，P?1?X?4?，P?1?X?4? 2?

62、从一批含有13只正品、2只次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽取1只，求抽得次品数X的分布列及分布函数。

363、（1）设连续随机变量X的概率概率为fX(x)，求Y?X的概率密度。

（2）设X服从指数分布E(?)。求Y?X的概率密度。]

364、对圆片直径进行测量，测量值X服从均匀分布U(5,6)。求圆面积Y的概率密度。

65、设电压V?Asin?，其中A是一个正常数，相角?是一个随机变量，服从均匀分布U??,?，

?22?求电压V的概率密度。

66、箱子里装有12件产品，其中2件是次品。每次从箱子里任取一件产品，共取2次。定义随机变量X,Y?????0,若第1次取出正品?0,若第2次取出正品如下X??，Y??。分别就下面两种情况求出二维

1,若第1次取出次品1,若第2次取出次品??随机向量(X,Y)的联合分布列和关于X,Y的边缘分布列：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。 67、一个大袋子中，装有3个桔子，2个苹果，3个梨。今从袋中随机抽出4个水果。若X为为桔子数，Y为苹果数，求(X,Y)的联合分布列。

68、把一枚硬币连掷3次，以X表示在3次中出现正面的次数，Y表示在3次中出现正面的次数与出现反面的次数的绝对值，求(X,Y)的联合分布列。 69、设二维随机向量的概率密度为：f(x,y)???k(6?x?y),0?x?2,2?y?4。求（1）k；（2）

其它?0,P{X?1,Y?3}；（3）P{X?1.5}；（4）P{X?Y?4}。

《概率论》计算与证明题 75

??A(R?x2?y2,x2?y2?R270、设随机向量(X,Y)的概率密度为：f(x,y)??，求：（1）常数A；

其它??0,（2）(X,Y)落地圆域G:x?y?r（r?R）中的概率。

71、设二维连续随机向量(X,Y)的概率密度为：

222f(x,y)?6 ???x???,???y??? 222?(4?x)(9?y)求：（1）(X,Y)的分布函数；（2）关于X及关于Y的边缘分布函数。

?e?y,0?x?y72、设二维连续随机向量(X,Y)的概率密度为：f(x,y)??，求关于X及关于Y的边缘

其它?0,概率密度。

73、设X与Y相互独立，且X服从均匀分布U[?a,a]，Y服从正态分布N(b,?)。求Z?X?Y的概

率密度。

2?1(1?sinxsinysinz)0?x,y,z?2??74、若(?,?,?)的密度为(p(x,y,z)??8?3，则?,?,?两两独立，

?0其它?但不相互独立。

?e?x75、若?,?相互独立，且同服从指数分布，密度函数为：p(x)???0立。

nx?1??1x2e2?n?76、证明：p(x)??2n/2?()2?0??x?0?，证明：?+?与相互独

?x?0x?0 为一概率密度函数。

x?o????? 服从参数为?1??277、设R,V?,?分别服从参数为?1、?2的普阿松分布，且相互独立，求证：

的普阿松分布。 78、证明函数f(x)?1?|x|e(???x??)是一个密度函数。 279、设F(x)?P{??x}，试证F(x)具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；（3）F(??)?0, F(??)?1。 80、试证：若P{??x2}?1??,P{??x1}?1??，则P{x1???x2}?1?(???)。

81、设随机变量?取值于[0，1]，若P{x???y}只与长度y?x有关（对一切0?x?y?1），试证?服

从[0，1]均匀分布。 82、定义二元函数F(x,y)??

?1,x?y?0。验证此函数对每个变元非降，左连续，且满足（2.6）及（2.7），

?0,x?y?0 《概率论》计算与证明题 76

但无法使（2.5）保持非负。 83、试证f(x,y)?ke?(ax2?2bxy?cy2)为密度函数的充要条件为a?0,c?0,b?ac?0, k?2ac?b2?。

84、若f1(x),f2(x),f3(x)是对应于分布函数F1(x),F2(x),F3(x)的密度函数，证明对于一切

?(?1???1)，下列函数是密度函数，且具有相同的边际密度函数f1(x),f2(x),f3(x)：

f1(x),f2(x),f3(x)?f1(x1),f2(x2),f3(x3){1??[2F1(x1)?1]?[2F2(x2)?1]?[2F3(x3)?1]}。

0?x?2??1??3(1?sinxsinysinz),当0?y?2?时85、设(?,?,?)的联合密度函数为 p(x,y,z)??8?

0?z?2???其它?0,试证?,?,?两两独立，但不相互独立。

86、若?1与?2是独立随变量，均服从普要松分布，参数为?1?2及，试直接证明

（1）?1??2具有普承松分布，参数为?1??2；

?n???1??（2）P{?1?k|?1??2?n}???????k???1??2?87、若?,?相互独立，且皆以概率

k??2????????2??1n?k。

1取值+1及?1，令????，试证?,?,?两两独立但不相互独立。 2288、若气体分子的速度是随机向量V?(x,y,z)，各分量相互独立，且均服从N?(0,?)，试证

S?x2?y2?z2斑点服从马克斯威尔分布。

89、求证，如果?与?独立，且分别服从??分布G(?,r1)和G(?,r2)，则???与

i?也独立。 ?90、证明：?是一个随机变量，当且仅当对任何x?R成立 {?:?(?)?C}?F。

第三章解答

1、解：令?n表在n次移动中向右移动的次数，则?n服从二项分布，

《概率论》计算与证明题

kP{?n?k}?Cnpk(1?p)n?k,k?0,1,?n

以Sn表时刻时质点的位置，则 Sn??n?(n??n)?2?n?n。

?0?n的分布列为 ??(1?p)n???nSn的分布列为 ??(1?p)n?12?122Cnp(1?p)n?1Cnp(1?p)n?2??n?2?n?4?122Cnp(1?p)n?1Cnp(1?p)n?2?

n??。 pn??n??。 n?p?2、解：P{??1}?P{失成}?P{成失}?pq?qp，

P{??2}?P{失失成}?P{成成失}?ppq?qqp?p2q?q2p,?

所以?的概率分布为 p{?k}?pq?qp,k?1,2,?。

3、解：（1）1?k2?k?1?k?1Nf(k)?c?N， ?c?1。 N?1 （2）1?c

?k!?c(e??1)， ?c?(e??1)?k。

4、证：f(x)?0，且

?????1?|x|?|x|?x? f(x)dx??edx??edx??e0??2????f(x)是一个密度函数。

5、解：（1）P(6???9)?P?(6?10)??1?211?(??10)?(9?10)? 22?1??P??1?(??10)?2?（2）P(7???12)?P?(7?10)?1??1????????(?2)?0.285788 2??2??1?211?(??10)?(12?10)? 22?1?11??P??1?(??10)?1????1???(?1)?0.774538

2?22?（3）P(13???15)?P?(13?10)??1?211?(??10)?(15?10)? 22? ?P?1

1?1?11?1??(??10)?2????2???(1)?0.060597

2?2?22?2? 《概率论》计算与证明题 78

6、解：（1）?(1.3)?0.90，而P{??a}?P?(??5)?解得a?7.6。

?1?211??1?(a?5)????(a?5)?，令(a?5)?1.322??2??1?21?a? =0.995，而2?（2）由P{|??5|?a}?0.01得P{??5?a}?0.005，从而P?(??5)?1?(2.6)?0.995所以a?2.6,a?5.2。

7、证：（1）设x2?x1,F(x2)?F(x1)?P{x1???x2}?0，所以F(x2)?F(x1)，F(x)非降。

（2）设x???xn?xn?1???x1?x0，x1?x由概率的可加性得

???P??(xi?1???xi)??P{x???x0} ?i?0?由此得 F(x0)?F(x)?lim?F(x0)?F(x)?，

n????F(x)?F(x)??F(xii?1i?0?0)?F(x)。

?F(x)?limF(xn)?F(x?0),F(x)右连续。

n??（3）1?P{??????}?n???P{n???n?1}???F(n?1)?F(n)??limF(n)?n??n????m???limF(m)。

由单调性得limF(x)与limF(x)均存在且有穷，由0?F(x)?1及上式得F(??)?0,F(?)?1。