《概率论》计算与证明题 69
第三章 随机变量与分布函数
1、直线上有一质点，每经一个单位时间，它分别以概率p或1?p向右或向左移动一格，若该质点在时刻
0从原点出发，而且每次移动是相互独立的，试用随机变量来描述这质点的运动（以Sn表示时间n时质点的位置）。
2、设?为贝努里试验中第一个游程（连续的成功或失败）的长，试求?的概率分布。
?kc,k?1,2,?, 3、c应取何值才能使下列函数成为概率分布：（1）f(k)?（2）f(k)?c,k?1,2,?,N;k!N??0。
4、证明函数f(x)?1?|x|e(???x??)是一个密度函数。 25、若?的分布函数为N（10，4），求?落在下列范围的概率：（1）（6，9）；（2）（7，12）；（3）（13，15）。 6、若?的分布函数为N（5，4），求a使：（1）P{??a}?0.90；（2）P{|??5|?a}?0.01。 7、设F(x)?P{??x}，试证F(x)具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；（3）F(??)?0, F(??)?1。 8、试证：若P{??x2}?1??,P{??x1}?1??，则P{x1???x2}?1?(???)。
9、设随机变量?取值于[0，1]，若P{x???y}只与长度y?x有关（对一切0?x?y?1），试证?服
从[0，1]均匀分布。
10、若存在?上的实值函数Q(?)及D(?)以及T(x)及S(x)，使
f?(x)?exp{Q(?)T(x)?D(?)?S(x)}，
2则称{f?,???}是一个单参数的指数族。证明（1）正态分布N(m0,?)，已知m0，关于参数?；
（2）正态分布N(m0,?0)，已知?0，关于参数m；（3）普阿松分布p(k,?)关于?都是一个单参数的指数族。
但[0,?]上的均匀分布，关于?不是一个单参数的指数族。
?(ax2?2bxy?cy2)211、试证f(x,y)?ke为密度函数的充要条件为a?0,c?0,b?ac?0, k?2ac?b2?。
12、若f1(x),f2(y)为分布密度，求为使f(x,y)?f1(x)f2(y)?h(x,y)成为密度函数，h(x,y)必须而且
只需满足什么条件。
?Ae?(2x?y),x?0,y?013、若(?,?)的密度函数为 f(x,y)??，
其它?0,
《概率论》计算与证明题 70
试求：（1）常数A；（2）P{??2,??1}；（3）?的边际分布；（4）P{????2}； （5）f(x|y)；（6）P{??2|??1}。 14、证明多项分布的边际分布仍是多项分布。 15、设二维随机变量(?,?)的联合密度为
p(x,y)?1k?1x1(y?x)k2?1e?y
?(k1)?(k2)k1?0,k2?0,0?x?y??，试求与?的?边际分布。
16、若f1(x),f2(x),f3(x)是对应于分布函数F1(x),F2(x),F3(x)的密度函数，证明对于一切
?(?1???1)，下列函数是密度函数，且具有相同的边际密度函数f1(x),f2(x),f3(x)：
f1(x),f2(x),f3(x)?f1(x1),f2(x2),f3(x3){1??[2F1(x1)?1]?[2F2(x2)?1]?[2F3(x3)?1]}。
17、设?与?是相互独立的随机变量，均服从几何分布g(k,p)?qk?1p,k?1,2,?。令??max(?,?)，
试求（1）(?,?)的联合分布；（2）?的分布；（3）?关于?的条件分布。
?4xy,0?x?y,0?y?118、（1）若(?,?)的联合密度函数为f(x,y)??，问?与?是否相互独立？
0,其它?（2）若(?,?)的联合密度函数为f(x,y)???8xy,0?x?y,0?y?1，问?与?是否相互独立？
其它?0,0?x?2??1??3(1?sinxsinysinz),当0?y?2?时19、设(?,?,?)的联合密度函数为 p(x,y,z)??8?
0?z?2???其它?0,试证：?,?,?两两独立，但不相互独立。
?1?xy?,|x|?1,|y|?12220、设(?,?)具有联合密度函数p(x,y)??4，试证?与?不独立，但?与?是相
?其它?0,互独立的。
21、若?1与?2是独立随变量，均服从普要松分布，参数为?1?2及，试直接证明
（1）?1??2具有普承松分布，参数为?1??2；
?n???1?（2）P{?1?k|?1??2?n}??????????k???12?k??2????????2??1n?k。
《概率论》计算与证明题 71
22、若?,?相互独立，且皆以概率
1取值+1及?1，令????，试证?,?,?两两独立但不相互独立。 2223、若?服从普阿松分布，参数为?，试求（1）??a??b；（2）???的分布。
???24、设?的密度函数为p(x)，求下列随机变量的分布函数：（1）
（3）??|?|。
?1，这里P{??0}?0；（2）??tg?；
25、对圆的直径作近似度量，设其值均匀分布于(a?b)内，试求圆面积的分布密度。
26、若?,?为相互独立的分别服从[0，1]均匀分布的随机变量，试求?????的分布密度函数。 27、设?,?相互独立，分别服从N(0,1)，试求??
?的密度函数。 ?28、若?,?是独立随机变量，均服从N(0,1)，试求U????,V????的联合密度函数。
29、若?1,?2,?,?n相互独立，且皆服从指数分布，参数分别为?1,?2,?,?n，试求??min(?1,?2,?,?n)的分布。
30、在(0,a)线段上随机投掷两点，试求两点间距离的分布函数。
31、若气体分子的速度是随机向量V?(x,y,z)，各分量相互独立，且均服从N?(0,?)，试证
2S?x2?y2?z2斑点服从马克斯威尔分布。
32、设?,?是两个独立随机变量，?服从N(0,1)，?服从自由度为n的x?分布(3.14),令t??/2?/n，
?1?1??(n?1)?2?2(n?1)x??2????试证t的密度函数为 Pn(x)? 1???n??1?n???n???2?这分布称为具有自由度n的t?分布在数理统计中十分重要。
?6(1?x?y?z)?4,当x?0,y?0,z?0时33、设?,?,?有联合密度函数f(x,y,z)??，试求
其它?0,U??????的密度函数。
34、若?,?独立，且均服从N(0,1)，试证U????与V?
22?是独立的。 ??也独立。 ?35、求证，如果?与?独立，且分别服从??分布G(?,r1)和G(?,r2)，则???与
?e?x,x?0?36、设独立随机变量?,?均服从p(x)?? ，问???与是否独立？
??????0,其它
概率论答案 - 李贤平版 - 第三章
