高三数学一轮复习——第2节 函数的单调性与最值

高三数学一轮复习——第2节 函数的单调性与最值

考试要求 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．

知 识 梳 理

1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 定义 当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 (2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 条件 结论 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M M为最大值 (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M M为最小值 自左向右看图象是下降的 [微点提醒]

1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.

(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值). 2.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝

1

的单调性相反. f（x）

a

3.“对勾函数”y＝x＋x(a>0)的增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)；单调减区间是[－a，0)，(0，a].

基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数.( )

1

(2)函数y＝x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( ) (3)对于函数y＝f(x)，若f(1)

(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).( ) 解析 (2)此单调区间不能用并集符号连接，取x1＝－1，x2＝1，则f(－1)＜f(1)，故应说成单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞). (3)应对任意的x1＜x2，f(x1)＜f(x2)成立才可以.

(4)若f(x)＝x，f(x)在[1，＋∞)上为增函数，但y＝f(x)的单调递增区间是R. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×

2.(必修1P39B3改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( ) 1

A.y＝x－x C.y＝ln x－x

B.y＝x2－x D.y＝ex

1

解析 对于A，y1＝x在(0，＋∞)内是减函数，y2＝x在(0，＋∞)内是增函数，则

1

y＝x－x在(0，＋∞)内是减函数；B，C选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；选项D中，y＝ex在(0，＋∞)上是增函数. 答案 A

3.(必修1P31例4改编)函数y＝解析 函数y＝

2

在区间[2，3]上的最大值是________. x－1

2

在[2，3]上是减函数， x－12x－1

取得最大值

22－1

＝2.

当x＝2时，y＝答案 2

4.(2019·广东省际名校联考)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是( ) A.y＝

1

在R上为减函数 f（x）

B.y＝|f(x)|在R上为增函数 1

C.y＝－f(x)在R上为增函数 D.y＝－f(x)在R上为减函数

1

解析 如f(x)＝x3，则y＝f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域上无单

1

调性，A错；则y＝|f(x)|在R上无单调性，B错；则y＝－f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域上无单调性，C错. 答案 D

5.(2019·青岛调研)若函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是增函数，则f(m)与f(1)的大小关系是( ) A.f(m)>f(1) C.f(m)≥f(1)

B.f(m)

解析 因为f(x)＝(m－1)x＋b在R上是增函数，则m－1>0，所以m>1，所以f(m)>f(1).