第1讲 坐标系与参数方程(大题)
热点一 极坐标与简单曲线的极坐标方程 1.直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位.如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，
??x＝ρcos θ，则?
?y＝ρsin θ，?
2＝x2＋y2，?ρ?
? y??tan θ＝x?x≠0?.
2.在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性. 例1 (2019·全国Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P. π
(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；
3
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程. ππ
解 (1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝时，ρ0＝4sin ＝23.
33π
由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2.
3
π
θ－?＝|OP|＝2. 设Q(ρ，θ)为l上除P的任意一点，连接OQ，在Rt△OPQ中，ρcos??3?ππ
2，?在曲线ρcos?θ－?＝2上. 经检验，点P??3??3?π
θ－?＝2. 所以，l的极坐标方程为ρcos??3?(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. ππ?因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是??4，2?. ππ?所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈??4，2?.
跟踪演练1 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＋3y＝53，以原点O为极点，x轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (1)求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程；
π
(2)射线OP：θ＝(ρ≥0)与圆C的交点为O，A，与直线l的交点为B，求线段AB的长.
6解 (1)在x＋3y＝53中， 令x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 得ρcos θ＋3ρsin θ＝53， π
θ＋?＝53， 化简得2ρsin??6?即为直线l的极坐标方程. 由ρ＝4sin θ得ρ2＝4ρsin θ， 又ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y， 所以x2＋y2＝4y， 即x2＋(y－2)2＝4， 即为圆C的直角坐标方程. π
(2)由题意知ρA＝4sin ＝2，
653
ρB＝＝5，
ππ??2sin?6＋6?所以|AB|＝|ρA－ρB|＝3. 热点二 简单曲线的参数方程 1.直线的参数方程
??x＝x0＋tcos α，
过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为?(t为参数).
??y＝y0＋tsin α
2.圆的参数方程
??x＝x0＋rcos θ，
圆心为点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为?(θ为参数).
?y＝y0＋rsin θ?
3.圆锥曲线的参数方程
??x＝acos θ，x2y2
(1)椭圆2＋2＝1(a>b>0)的参数方程为?(θ为参数).
ab
??y＝bsin θ?x＝2pt2，?
(2)抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为?(t为参数).
??y＝2pt
4.(1)参数方程的实质是将曲线上每一点的横、纵坐标分别用同一个参数表示出来，所以有时处理曲线上与点的坐标有关的问题时，用参数方程求解非常方便；
(2)充分利用直线、圆、椭圆等参数方程中参数的几何意义，在解题时能够事半功倍.
??x＝2cos θ，
例2 (2019·聊城模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?(θ为参数)，
?y＝sin θ?
倾斜角为α的直线l经过点P(0，2). (1)求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；
(2)若直线l与曲线C有两个不同的交点M，N，求|PM|＋|PN|的最大值.
??x＝2cos θ，x22
解 (1)由?(θ为参数)消去θ得＋y＝1，
4
??y＝sin θ
x22
所以曲线C的普通方程为＋y＝1，
4
??x＝tcos α，
直线l的参数方程为?(t为参数).
??y＝2＋tsin α??x＝tcos α，
(2)将直线l的参数方程?(t为参数)
??y＝2＋tsin α
x22
代入到＋y＝1中并整理得，
4
?cosα＋sin2α?t2＋22tsin α＋1＝0， ?4?
设M，N对应的参数分别为t1，t2，
22sin α1则t1＋t2＝－2，t1t2＝2>0，
cosαcosα
＋sin2α＋sin2α44∴t1，t2同号，
∴|PM|＋|PN|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|
2
＝
22sin α22cos2α＝ 4＋sin2α14sin α＋
3sin α4
≤22213sin α＝46
3，
4sin α·4
??当且仅当sin α＝33时取等号??
，
∴|PM|＋|PN|的最大值为46
3
.
跟踪演练2 (2018·全国Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为???x＝cos θ，
??y＝sin θ
参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点. (1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程. 解 (1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1. 当α＝π
2时，l与⊙O交于两点.
当α≠π
2时，记tan α＝k，
则l的方程为y＝kx－2. l与⊙O交于两点当且仅当
|2|1＋k2
<1，
解得k<－1或k>1， 即α∈?π3π?2，4?π?或α∈??4，π2??. 综上，α的取值范围是?π3π?4，4??. (2)l的参数方程为
???x＝tcos α，
??t为参数，π<α<3π?
y＝－2＋tsin α?44??. 设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP， 则ttA＋tBP＝2
，且tA，tB满足t2－22tsin α＋1＝0.
(θ为
板块2 核心考点突破拿高分 专题7 第1讲 坐标系与参数方程（大题）（教师版）备战2020年高考理科数学二轮复习
