2008年中国数学奥林匹克 （第二十三届全国中学生数学冬令营）
第一天
哈尔滨 1月19日 上午8：00~12：30 每题21分
1．设锐角△ABC的三边长互不相等，O为其外心，点A`在线段AO的延长线上，使得∠BA`A=∠CA`A，过A`分别作A` A1⊥AC，A` A2⊥AB，垂足分别为A1，A2，作AHA⊥BC，垂足HA，记△HAA1A2的外接圆半径为RA，类似地可得RB，RC，求证：
1112??? RARBRCR其中R为△ABC的外接圆半径。
2．给定整数n?3，证明X={1，2，3，……，n2?n}能写成两个不相交的非空子集的并，使得每一个子集均不包含n个元素a1,a2,??,an,a1?a2????an,满足
ak?ak?1?ak?1,k?2,?,n?1 23．给定正整数n，及实数x1?x2???xn,y1?y2??yn，满足
证明：对任意实数a，有
这里[?]表示不超过实数?的最大整数。
2008年中国数学奥林匹克 （第二十三届全国中学生数学冬令营）
第二天
哈尔滨 1月20日 上午8：00~12：30 每题21分
4．设A是正整数集的无限子集，n?1是给定的整数，已知：对任意一个不整除n的素数p，集合A中均有无穷多个元素不被P整除
证明：对任意整数m>1,(m,n)=1，集合A中均存在有限个互不相同的元素，其和S满足S≡1（modm）,且S≡0（modn）
5.求具有如下性质的最小正整数n，将正n边形的每一个顶点任意染上红，黄，蓝三种颜色之一，那么这n个顶点中一定存在四个同色点，它们是一个等腰梯形的顶点（两条边平行，另两条边不平行且相等的凸四边形称为等腰梯形）。 6．试确定所有同时满足
qn?2?3n?2(modpn),pn?2?3n?2(modqn)
的三无数组（p,q,n）,其中p,q为奇素数，n为大于1的整数。
中国数学奥林匹克(第二十三届全国中学生数学冬令营)
