七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题06 多边形角的计算

专题06 多边形角的计算

专题解读】

在几何学习中，我们常常要研究一些变化过程中的不变量．比如，随着多边形边数的变化，其内角和在变化，而外角和则始终保持不变．因此，在分析与解决有关多边形的角的计算题时，我们往往以图形的确定性分析为抓手，从基本图形的演变入手，在“变”与“不变”中探索规律．在解决问题的具体过程中，常常化多边形问题为三角形问题．此外，我们还可设立未知数表达相关的量，最终建立方程求解问题．

思维索引】

例1．如图，从四边形ABCD的纸片中只剪一刀，剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画出示意图，并在图形下方写上剩余部分多边形的内角和．

DABC

例2．在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点F是一动点．设∠FDA＝α，∠FEB＝β，∠DFE＝n．

（1）如图1，若点F在线段AB上，且n＝50°，则α＋β＝

；

（2）如图2，若点F在斜边BA的延长线上运动（CE＞CD），请直接写出n、a、β之间的关系

；

（3）若点F运动到△ABC形外（只需研究图3情形），则n、a、β之间有何关系？并说明理由．

CEDA图1FBA图2DCECDBFEB图3A

()

例3．如图：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把这个图形称为“8字型”．根据三角形内角和容易得到：∠A＋∠D＝∠C＋∠B．

（1）利用“8字型”：如图（1）：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝

；

；

（2）构造“8字型”：如图（2）：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝

（3）发现“8字型”：如图（3）：BE、CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线．①图中共有

个“8字型”；②若∠B：∠D：∠F＝4：6：x，求x的值．

FDAOCBBAFDEAGEC图1DEFGB图3ABC图2DC

素养提升

1．如图是一个长方形和两个等边三角形，若∠3＝50°，则∠1＋∠2的值是 A．90°

B．100°

C．130°

D．180°

A( )

123第1题图B1C2A第2题图第5题图EADBCBFOCD第6题图E

2．如图，在△ABC中，∠C＝50°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1＋∠2等于 A．230°

B．210°

C．130°

D．310°

( ) ( )

3．将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是 A．360°

B．540°

C．720°

D．900°

4．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为

A．7

B．7或8

C．8或9

D．7或8或9

( )

C．220°

()

( )

5．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E为 A．360° B．300°

D．180°

6．如图，已知∠BOF＝120°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝ ．

7．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝220°，则∠BOD的度数为

A2G3FEA'BB'DC第8题图H ．

FGA1BCODABCDBA14E第7题图E第9题图FAA2第10题图O

8．将六边形ABCDEF沿直线GH折叠，使A、B落在六边形CDEFGH内部，若∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝510°，则∠A′KF＋∠B′JC＝ ．

9．如图，在同一平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则∠AEB＋∠CED－∠BEC＝

．

10．如图，已知∠AOB＝7°，一条光线从点A出发后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝90°－7°＝83°．当∠A＜83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠BA1A＝∠A2AO．若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A＝76°．若光线从A点出发后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值是 ．

11．已知，在△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠E＋∠F＝100°，将△DEF如图1和图2摆放，使得∠D的两条边分别经过点B和点C．

（1）当将△DEF如图1摆放时，则∠ABD＋∠ACD＝

．

（2）当将△DEF如图2摆放时，请求出∠ABD＋∠ACD的度数，并说明理由．

（3）能否将△DEF摆放到某个位置时，使得BD与CD同时平分∠ABC和∠ACB，请说出理由．

AEADFBCBCFD图1E图2

()

12．（1）在图甲中，猜想：∠A1＋∠B1＋∠C1＋∠A2＋∠B2＋∠C2＝ ，并说明理由．

（2）如果把图甲称为2环三角形，它的内角和为∠A1＋∠B1＋∠C1＋∠A2＋∠B2＋∠C2；把图乙成为2环四边形，它的内角和为∠A1＋∠B1＋∠C1＋∠D1＋∠A2＋∠B2＋∠C2＋∠D2；把图丙成为2环五边形，它的内角和为∠A1＋∠B1＋∠C1＋∠D1＋∠E1＋∠A2＋∠B2＋∠C2＋∠D2＋∠E2．请你猜一猜，2环n边形的内角和是多少？（只要直接写出结论）

A1A2B1B2C2C1图乙D2D1A1A2A1A2E2B1B2C2D1C1图丙E1A1A2F2B1B2C2C1图丁D2D1E2F1E1B1B2图甲C1C2D2

13．（1）如图1，AD与BC相交于E，连接AB、CD，若AF、CF分别平分∠BAD、∠BCD，∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，试求∠F的度数；

（2）如图2，直线AF平分∠NAD，CF平分∠MCB，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，试求∠F的度数； （3）在图3中，直线AF平分∠NAD，CF平分∠MCB，猜想∠F与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由；

（4）在图4中，AF平分∠BAD，CF平分∠MCB，猜想∠F与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．

BBFBBAEC图1DFANMEC图2DANFMC图3EDAFEMC图4D

()

14．（1）如图1，已知直线PQ与直线EF交于点N，则∠PME、∠P、∠MEF、∠PNE之间有何数量关系？并说明理由；

（2）根据（1）的结论求图2中∠P＋∠F＋∠Q＋∠M＋∠N＋∠E的度数． 拓展延伸一：如图3，若平面内有点P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8，连接

P4P6、P5P7、P6P8、PPP7P1??P2??P3??P4??P5??P6??P7??P8的度数是多13、P2P4、P3P5、1、P8P2，求?P少？

??、Pn，且将这个点围成的多边形是凸多边形，连接拓展延伸二：若平面内有n个点P1、P2、P3、P4、PP??、Pn?1P（请用含n13、P2P4、P3P5、1、PnP2，则?P1??P2??P3??P4???????+?Pn?1??Pn的度数是多少？

的代数式表示）

P1P8P7FMEQ图1PPEP2P6P3FNQMTN图2P4图3P5

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