高考数学总复习第二章函数课时规范练13函数模型及其应用理新人教A版

课时规范练13 函数模型及其应用

一、基础巩固组

1.某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=3 000+20x-2*0.1x(0

2.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子租不出去.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出去的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套公寓月租金应定为 ( ) A.3 000元 B.3 300元 C.3 500元 D.4 000元

3.一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时交通灯由红变绿,汽车

拼十年寒窗挑灯苦读不畏难；携双亲期盼背水勇战定夺魁。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。拼十年寒窗挑灯苦读不畏难；携双亲期盼背水勇战定夺魁。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在时间t内的路程为s=t米,那么,此人( ) A.可在7秒内追上汽车 B.可在9秒内追上汽车

C.不能追上汽车,但期间最近距离为14米 D.不能追上汽车,但期间最近距离为7米

4.某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图①;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图②(注:利润和投资单位:万元).

2

图①

图②

(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式;

(2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部资金投入到A,B两种产品的生产中.①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润?②如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大利润为多少万元?

1

5.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(单位:μg)与时间t(单位:h)之间的关系近似满足如图所示的曲线. (1)写出第一次服药后y与t之间的函数解析式y=f(t);

(2)据进一步测定:当每毫升血液中含药量不少于0.25 μg时,治疗有效.求服药一次后治疗有效的时间.

6.A,B两城相距100 km,在两城之间距A城x km处建一核电站给A,B两城供电,为保证城市安全,核电站与城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(单位:km)的平方与供电量(单位:亿千瓦时)之积的0.25倍,若A城供电量为每月20亿千瓦时,B城供电量为每月10亿千瓦时. (1)求x的取值范围;

(2)把月供电总费用y表示成x的函数;

(3)核电站建在距A城多远,才能使供电总费用y最少?

?导学号21500519?

二、综合提升组

7.某市明年计划投入600万元加强民族文化基础设施改造.据调查,改造后预计该市在一个月内(以30天计),民族文化旅游人数f(x)(单位:万人)与时间x(单位:天)的函数关系近似满足

f(x)=4

,人均消费g(x)(单位:元)与时间x(单位:天)的函数关系近似满足g(x)=104-|x-23|.

*(1)求该市旅游日收益p(x)(单位:万元)与时间x(1≤x≤30,x∈N)的函数关系式;

(2)若以最低日收益的15%为纯收入,该市对纯收入按1.5%的税率来收回投资,按此预计两年内能否收回全部投资.

2

8.(2017江苏无锡模拟)某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月,预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价

x22

格模拟函数:①f(x)=p·q;②f(x)=px+qx+1;③f(x)=x(x-q)+p(以上三式中p,q均为常数,且q>1). (1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?

(2)若f(0)=4,f(2)=6,求出所选函数f(x)的解析式(注:函数定义域是[0,5],其中x=0表示8月1日,x=1表示9月1日,以此类推);

(3)在(2)的条件下研究下面课题:为保证养殖户的经济效益,当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销,请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.

?导学号21500520?

9.现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是底面为正方形的四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱(底面为正方形的直棱柱)ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是四棱锥的高PO1的4倍,O1,O分别为底面中心. (1)若AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少?

(2)若四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?

三、创新应用组

10.(2017江苏南京、盐城二模)在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600平方厘米的矩形纸板ABCD,然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体纸盒(如图).设小正方形的边长为x厘米,矩形纸板的两边AB,BC的长分别为a厘米和b厘米,其中a≥b.

(1)当a=90时,求纸盒侧面积的最大值;

(2)试确定a,b,x的值,使得纸盒的体积最大,并求出最大值.

3

?导学号21500521?

课时规范练13 函数模型及其应用

22*1.C 设利润为f(x)万元,则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x)=0.1x+5x-3 000(0

令f(x)≥0,得x≥150,∴生产者不亏本时的最低产量是150台. 2.B 由题意,设利润为y元,租金定为(3 000+50x)元(0≤x≤70,x∈N),

则y=(3 000+50x)(70-x)-100(70-x) =(2 900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)

≤50=204 800,

当且仅当58+x=70-x,即x=6时,等号成立,

故每月租金定为3 000+300=3 300(元)时,公司获得最大利润,故选B.

3.D 已知s=t,车与人的间距d=(s+25)-6t=t-6t+25=(t-6)+7.

当t=6时,d取得最小值7.

4.解 (1)设A,B两种产品都投资x万元(x≥0),所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元,由题意可设f(x)=k1x,g(x)=k2,

根据题图可得f(x)=0.25x(x≥0),g(x)=2(x≥0).

(2)①由(1)得f(9)=2.25,g(9)=2=6,故总利润y=8.25(万元).

②设B产品投入x万元,A产品投入(18-x)万元,该企业可获总利润为y万元, 则y=令则y=(18-x)+2

,0≤x≤18. ],

2

2

2

=t,t∈[0,3

(-t+8t+18) (t-4)+22

=-

故当t=4时,ymax==8.5, 此时x=16,18-x=2.

所以当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时,可使该企业获得最大利润8.5万元. 5.解 (1)根据所给的曲线,

可设y= 当t=1时,由y=4,得k=4, 由则y=(2)由y≥0.25,得解得

=4,得a=3.

t≤5.

(h).

因此服药一次后治疗有效的时间为5-6.解 (1)由题意可知x的取值范围为10≤x≤90.

4

(2)y=5x+(3)因为y=5x+2

2

(100-x)(10≤x≤90).

(100-x)=,

时,ymin=

2

2

x2-500x+25 000

=所以当x=故核电站建在距A城 km处,才能使供电总费用y最少. 7.解 (1)由题意知p(x)=f(x)g(x)

=4

(2)由p(x)=

(104-|x-23|)(1≤x≤30,x∈N).

*①当1≤x≤23时, p(x)=4=4

(81+x)

4

82+2

=400,

当且仅当x=,即x=9时,p(x)取得最小值400. ②当23

p(x)=4=4

(127-x)

设h(x)=-x,则有h'(x)=--1<0,

故h(x)在(23,30]上为减函数,则p(x)在(23,30]上也是减函数,所以当x=30

时,p(x)min=4=400>400.所以当x=9时,p(x)取得最小值400万元.

因为两年内的税收为400×15%×30×12×2×1.5%=648>600,所以600万元的投资可以在两年内收回.

8.解 (1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势,而中期又将出现价格连续下跌,所以在给出的

2

函数中应选模拟函数f(x)=x(x-q)+p.

2

(2)对于f(x)=x(x-q)+p, 由f(0)=4,f(2)=6,可得p=4,

2

(2-q)=1,

又q>1,所以q=3,

32

所以f(x)=x-6x+9x+4(0≤x≤5).

32

(3)因为f(x)=x-6x+9x+4(0≤x≤5),

2

所以f'(x)=3x-12x+9, 令f'(x)<0,得1

所以函数f(x)在(1,3)内单调递减,所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌. 9.解 (1)由PO1=2 m知O1O=4PO1=8 m.

因为A1B1=AB=6 m,所以四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=A1

223

正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB·O1O=6×8=288(m).

3

所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m).

(2)设A1B1=a m,PO1=h m,则0

PO1=6×2=24(m);

23

5

因为在Rt△PO1B1中,O1

+P=P,所以

+h2=36,即a2=2(36-h2).

于是仓库的容积V=V=a2

·4h+a2·h=a2h=(36h-h3

柱+V锥),0

)=26(12-h2

).令V'=0,得h=2或h=-2

(舍).

当0

时,V'>0,V是单调增函数;当2

故h=2时,V取得极大值,也是最大值.因此,当PO1=2 m时,仓库的容积最大. .解 (1)因为矩形纸板ABCD的面积为3 600平方厘米,故当a=90时,b=40,所以纸盒的侧面积S=2×x(90-2x)+2×x(40-2x) =-8x2+260x,x∈(0,20).

因为S=-8x2

+260x=-8

,

故当x=时,侧面积最大,最大值为平方厘米.

(2)纸盒的体积

V=(a-2x)(b-2x)x=x[ab-2(a+b)x+4x2],x,b≤60.

V=x[ab-2(a+b)x+4x2]≤x(ab-4x+4x2) =x(3 600-240x+4x2) =4x3-240x2+3 600x.

当且仅当a=b=60时等号成立.

设f(x)=4x3-240x2

+3 600x, x∈(0,30).

则f'(x)=12(x-10)(x-30).

于是当00,所以f(x)在(0,10)内单调递增; 当10

故当a=b=60,x=10时纸盒的体积最大,最大值为16 000立方厘米.

6

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