高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的
三角函数（二）学案（无答案）新人教A版必修4
学习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．
知识点一 三角函数的定义域
π
思考 正切函数y＝tanx为什么规定x∈R且x≠kπ＋，k∈Z?
2
π
答案 当x＝kπ＋，k∈Z时，角x的终边在y轴上，此时任取终边上一点P(0，yP)，因
2为无意义，因而x的正切值不存在．所以对正切函数y＝tanx，必须要求x∈R且x≠kπ＋0π
，k∈Z. 2
梳理 正弦函数y＝sinx的定义域是R；余弦函数y＝cosx的定义域是R；正切函数y＝tanx???π
的定义域是?x?x∈R且x≠kπ＋，k∈Z
2???
yP
??
?. ??
知识点二 三角函数线
思考1 在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sinα，cosα，tanα与MP，OM，AT的关系吗？
答案 sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT. 思考2 三角函数线的方向是如何规定的？
答案 方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值． 思考3 三角函数线的长度和方向各表示什么？
答案 长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．
梳理
图示 正弦线 余弦线 正切线
1．正弦线MP也可写成PM.( × )
提示 三角函数线是有向线段，端点字母不可颠倒． 2．三角函数线都只能取非负值．( × ) 提示 三角函数线表示的值也可取负值．
3．当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．( √ ) 4．当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点．( √ )
角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线 有向线段OM即为余弦线 过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边或其反向延长线相交于点T，有向线段AT即为正切线
类型一 三角函数线
5π
例1 作出－的正弦线、余弦线和正切线．
8考点 单位圆与三角函数线 题点 三角函数线的作法 解 如图所示，
?5π?sin?－?＝MP， ?8??5π?cos?－?＝OM， ?8??5π?tan?－?＝AT. ?8?
反思与感悟 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作
x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.
1
跟踪训练1 在单位圆中画出满足sinα＝的角α的终边，并求角α的取值集合．
2考点 单位圆与三角函数线 题点 三角函数线的作法
1?1?解 已知角α的正弦值，可知P点纵坐标为.所以在y轴上取点?0，?，过这点作x轴的平2?2?行线，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的取值集合为
???π5π
?α?α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z
66???
??
?. ??
类型二 利用三角函数线比较大小
2π4π2π4π2π4π
例2 利用三角函数线比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小．
353535考点 单位圆与三角函数线 题点 利用三角函数线比较大小
2π2π2π4π4π4π
解 如图，sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT，sin＝M′P′，cos＝OM′，tan
333555＝AT′.
显然|MP|>|M′P′|，符号皆正， 2π4π∴sin>sin；
35|OM|<|OM′|，符号皆负， 2π4π∴cos>cos；
35|AT|>|AT′|，符号皆负， 2π4π∴tan 35 反思与感悟 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负． 跟踪训练2 比较sin1155°与sin(－1654°)的大小． 考点 单位圆与三角函数线 题点 利用三角函数线比较大小 解 sin1155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin75°， sin(－1654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin146°. 如图，在单位圆中，分别作出sin75°和sin146°的正弦线M1P1，M2P2. ∵|M1P1|>|M2P2|，且符号皆正， ∴sin1155°>sin(－1654°)． 类型三 利用三角函数线解不等式(组) 命题角度1 利用三角函数线解不等式组 例3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合． (1)sinα≥ 3 ； 2 1 (2)cosα≤－. 2 考点 单位圆与三角函数线 题点 利用三角函数线解不等式 解 (1)作直线y＝ 3 交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图(1)2 所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围． ???π2π 故满足要求的角α的集合为?α?2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z 33??? ?? ?. ?? 1 (2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(如图(2)所 2示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围． ???2π4π 故满足条件的角α的集合为?α?2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z 33??? ?? ?. ?? 反思与感悟 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点： (1)先找到“正值”区间，即0～2π内满足条件的角θ的范围，然后再加上周期； (2)注意区间是开区间还是闭区间． 13 跟踪训练3 已知－≤cosθ<，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围． 22考点 单位圆与三角函数线 题点 利用三角函数线解不等式 解 图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围， ???2ππ2 即?θ?2kπ－π≤θ<2kπ－或2kπ＋<θ≤2kπ＋π，k∈Z 3663??? ?? ?. ?? 命题角度2 利用三角函数线求三角函数的定义域 例4 求函数y＝lg?sinx－ ? ?2? ?＋1－2cosx的定义域． 2? 考点 单位圆与三角函数线
高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数(二)学案(无答案)新人教A版必修4
