一 寸 光 阴 不 可 轻
习 题
2.1 什么是线性系统?其最重要的特性是什么?下列用微分方程表示的系统中,xo表示系统输出,xi表示系统输入,哪些是线性系统? (1) ??o+2x (3) ??o+2x?+2x=2x (2) ??+2x?+2tx=2x xxxoooioooi?+2x=2x (4) ??+2xx?+2tx=2x xxooiooooi解: 凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要特性就是它满足叠加原理。该题中（2）和（3）是线性系统。
2.2 图（题2.2）中三同分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程，图中xi表示输入位移，xo表示输出位移，假设输出端无负载效应。
图(题2.2) 解: (1)对图(a)所示系统，由牛顿定律有
1
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即
??x?)?cx?=m?? c(xx1io2oo?+(c+c)x? ?o=cxm?xo121i (2)对图(b)所示系统，引入一中间变量x,并由牛顿定律有
??x?)(x?x)k=c(xi1o(1) (2)
??x?)=kxc(xo2o消除中间变量有
??kkx=ckx? c(k?k)x12o12o1i (3)对图(c)所示系统，由牛顿定律有 即
??x?)+k(x?x)=kx c(xio1io2o?+(k+k)x=cx?+kx cxo12oi1i 2.3求出图(题2.3)所示电系统的微分方程。
图（题2.3）
解:(1)对图(a)所示系统,设i1为流过R1的电流,i为总电流,则有
1 u=Ri+?idtC u?u=Ri
o22
io11 2
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1u?u=?(i?i)dtCio11
消除中间变量,并化简有
1CR()??+1++??CRuuuCRRC
1CR??+(+)u??+u=CRuCRRC1112oo22222112iii1221o
(2)对图(b)所示系统，设i为电流，则有
1 u=u+Ri+?idtC1 u=?idt+Ri Cio11o22
消除中间变量,并化简有
11)1
(R+R)u(?+?+uu=Ru+CCC12oo2ii1222.4 求图(题2.4)所示机械系统的微分方程。图中M为输入转矩,Cm为圆周阻尼，J为转动惯量。
解：设系统输入为M（即），输出?(即)，分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：
3
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消除中间变量
?+Rk(R??x)??+C?M=J??+c?? k(R??x)=m?xxm
x,即可得到系统动力学方程
22
???+(Rkm+Cc?KJ)???+k?mJ?+(mC+cJ)?（cR+C）???+cM?+KM=mM(4)mmm2.5 输出y(t)与输入x(t)的关系为y(t)= 2x(t)+0.5x(t)。 （1）求当工作点为xo=0,xo=1,xo=2时相应的稳态时输出值； （2）在这些工作点处作小偏差线性化模型，并以对工作的偏差来定义x和y，写出新的线性化模型。 解: (1) 将
3=0,=1,=2分别代入y(t)= 2x(t)+0.5xoxoxox(t)中,即当工作
3点为xo=0,xo=1,xo=2时相应的稳态输出值分别为yo=0,y0=2.5,
y=8。
o (2) 根据非线性系统线性化的方法有，在工作点(非线性函数展开成泰勒级数,并略去高阶项得
x,y)oo附近,将
y+?y=2x+0.5x+(2+1.5x)|x=x??x
32oooo ? 若令x?y=(2+1.5x)|x=x2o??x
=?x,y=?y02有
y=(2+1.5x)x20202
当工作点为xo=时,
y=(2+1.5x)x=2x02 当工作点为xo=1时, 当工作点为xo=时,
y=(2+1.5x)x=3.5x y=(2+1.5x)x=8x
0 4
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2.6已知滑阀节流口流量方程式为Q=cwx?v2p，式中．Q为通过
节流阀流口的流量；p为节流阀流口的前后油压差；xv为节流阀的位移量；c为疏量系数；w为节流口面积梯度；?为油密度。试以Q与p为变量（即将Q作为P的函数）将节流阀流量方程线性化。
解：利用小偏差线性化的概念，将函数Q=F(xv，p)在预定工作点F(xo，po)处按泰勒级数展开为
?F?FQ=F(xvo,po)+()(xvo,po)??xv?(?)(xvo,po)??p+?P?xv
消除高阶项，有
?F?FQ=F(xvo,po)+()(xvo,po)??xv+(?)(xvo,po)??pP?xv
?
?Q=F(xv,p)?F(xvo,po)
?F?F=F(xvo,po)+()(xvo,po)??xv+(?)(xvo,po)??p?F(xvo,po)P?xv
?F?F=()(xvo,po)??xv+(?)(xvo,po)??pP?xv
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2机械控制工程基础第二章答案.pdf
