2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
理科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U?R，A?{x|x?0}，B?{x|x?1}，则集合CU(AB)? A.{x|x?0} A.2?3i 3.已知a?2?13B.{x|x?1} B.2?3i
，b?log2C.{x|0?x?1} C.3?2i
D.{x|0?x?1} D.3?2i
2.设复数z满足(z?2i)(2?i)?5，则z?
A.a?b?c D.c?b?a 4.已知m，n表示两条不同直线，?表示平面，下列说法正确的是 A.若m//?，n//?，则m//n B.若m??，n??，则m?n C.若m??，m?n，则n//? D.若m//?，m?n，则n??
5.设a，b，c是非零向量，已知命题P：若a?b?0，b?c?0，则a?c?0；命题q：若a//b，
11，c?log1，则 323B.a?c?b C.c?a?b
b//c，则a//c，则下列命题中真命题是
A.p?q B.p?q C.(?p)?(?q)
D.p?(?q) 6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 A.144 B.120 C.72 D.24 7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为
A.8?2?
B.8??
aaC.8?? 2D.8?? 48.设等差数列{an}的公差为d，若数列{21n}为递减数列，则 A.d?0
B.d?0
C.a1d?0
D.a1d?0
9.将函数y?3sin(2x?A.在区间[?3)的图象向右平移
?7?]上单调递减 ，
1212??C.在区间[?，]上单调递减
36?个单位长度，所得图象对应的函数 2?7?]上单调递增 B.在区间[，
1212??D.在区间[?，]上单调递增
3610.已知点A(?2，3)在抛物线C：y2?2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为
34 D. 433211.当x?[?2，1]时，不等式ax?x?4x?3?0恒成立，则实数a的取值范围是
9A.[?5，?3] C.[?6，?2] D.[?4，?3] B.[?6，?]
812.已知定义在[0，1]上的函数f(x)满足： ①f(0)?f(1)?0；
1②对所有x，y?[0，1]，且x?y，有|f(x)?f(y)|?|x?y|.
2若对所有x，y?[0，1]，|f(x)?f(y)|?k，则k的最小值为 1111A. B. C. D. 242?8A.
B.
C.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.执行如图所示的程序框图，若输入x?9，则输出y?___________.
1 22 3
14.正方形的四个顶点A(?1，?1)，B(1，?1)，C(1，1)，D(?1，1)分别在抛物线y??x2和y?x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在阴影区域的概率是____________.
xy??1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，94线段MN的中点在C上，则|AN|?|BN|?_____________.
3452216.对于c?0，当非零实数a，b满足4a?2ab?4b?c?0且使|2a?b|最大时，??的最
abc15.已知椭圆C：小值为____________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）
在?ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c，且a?c，已知BA?BC?2，cosB?求：
221，b?3，3⑴a和c的值； ⑵cos(B?C)的值.
18.（本小题满分12分）
一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. ⑴求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率； ⑵用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X).
19.（本小题满分12分）
如图，?ABC和?BCD所在平面互相垂直，且AB?BC?BD?2，?ABC??DBC?120?，E、F分别为AC、DC的中点. ⑴求证：EF?BC；
⑵求二面角E?BF?C的正弦值.
20.（本小题满分12分）
圆x?y?4的切线与x轴正半轴、y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P22x2y2（如图），双曲线C1：2?2?1过点P且离心率为3. ab⑴求C1的方程；
⑵椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程.
21.（本小题满分12分）
已知函数f(x)?(cosx?x)(??2x)?(sinx?1)，g(x)?3(x??)cosx?4(1?sinx)ln(3?证明：⑴存在唯一x0?(0，⑵存在唯一x1?(832x?).
?)，使f(x0)?0； 2?，?)，使g(x1)?0，且对⑴中的x0，有x0?x1??. 2请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG?PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F. ⑴求证：AB为圆的直径；
⑵若AC?BD，求证：AB?ED.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
将圆x?y?1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. ⑴写出C的参数方程；
⑵设直线l：2x?y?2?0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段PP12的中点且与l垂直的直线的极坐标方程. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
2设函数f(x)?2|x?1|?x?1，g(x)?16x?8x?1，记f(x)?1的解集为M，g(x)?4的解集为
22N.
⑴求M；
⑵当x?MN时，证明：x2f(x)?x[f(x)]2?1. 4
2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
理科数学答案
1. D 2. A 3. C 4. B 5. A 6. D 7. B 8. C 9. B 10. D 11. C 12. B 13.
292C 14. 15. 12 16. ?2 931?2得，c?acosB?2，又cosB?，所以ac=6.
32217.（Ⅰ）由BA?BC由余弦定理，得a又b=3，所以a22?c?b?2accosB.
2?c?9?2?2?13.
??ac?6解?2，得a=2，c=3或a=3，c=2. 2??a?c?13因为a>c,∴ a=3，c=2. （Ⅱ）在?ABC中，sinB?122221?cosB?1?()?.
33由正弦定理，得sinCc22242，又因为a?b?c，所以C为锐角，因此?sinB???b3394227)?. 99cosC?1?sinC?1?(2于是cos(B?C)?cosBcosC?sinBsinC=
17224223. ????39392718.（Ⅰ）设A，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件1表示事件“日销售量不低于100个”“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此
P(A1)?(0.006?0.004?0.002)?50?0.6 . P(A2)?0.003?50?0.15.
P(B)?0.6?0.6?0.15?2?0.108.
（Ⅱ）X的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为
0P(X?0)?C3?(1?0.6)3?0.064, 1P(X?1)?C3?0.6(1?0.6)2?0.288,
2P(X?2)?C3?0.62(1?0.6)?0.432,
（辽宁省）2014年高考真题数学（理）试题（WORD高清精校版）
