19．（本小题满分14分）
解：（1）设D?x,y?
∵l是BC的垂直分线∴DB?DC ∴DB?DA?AC?22?2?AB ∴D点的轨迹图形E是以A、B为焦点的椭圆，其中2a?22,c?1………………5分
x2?y2?1………………………………………………………7分 ∴D点的轨迹方程E：2 （2）设P?x,y?，x???2,2?，则PO?x?y……………………………………8分
2??22 PA??x?1??y………………………………………………………………………9分
222 ??PA?1PO22x?1????y2?1x2?2x?y22x??1?………………………10分
x2?y2x2?y2x2?y22x2x222?y?1 ∴y?1? ………………………………………11分 点P?x,y?满足222x4x?1?2 ??1?2………………………………………………………………12分 xx?2?12 当x≥0时，?≤1
4t4 当x?0时，设t??x，则t?0,2?，??1?2 ………………13分 ?1??2t?2t?t2 ∵t?≥22 ∴?≤1?2 t 当且仅当t?2，即x??2时，?取得最大值1?2……………………………14分
? 20．（本小题满分14分）
解：（1）取p?n,q?1，则an?1?an?a1?an?2 ∴an?1?an?2?n?N??
∴?an?是公差为2、首项为2的等差数列 ∴an?2n……………………………4分
b3bnb1b2b4n?1????L??1?an?n≥1? ① ??21?122?123?124?12n?1bbn?1bbbn?2 ∴11?22?33?44?L???1??an?1?n≥2? ②
2?12?12?12?12n?1?1bnn?1n?1 ①—②得：??1? ∴?2n≥2b??12n?1?2??n≥2?…………6分 ?????nn2?1bn?1n?1? 当n?1时，a1?1 ∴b1?6，满足上式 ∴bn???1??2?2??n?N?……8分
3n?1nn?1? （3）Cn?3???1??2?2???，假设存在?，使Cn?1?Cn?n?N?
（2）∵ 即3n?1???1??2n?2?2????3n???1?nnn?1?2n?1?2???
????1???2n?2?2????1?n?1?2n?1?2?????3n?3n?1??2?3n
? ???1?n?3?2n?1?4?????2?3n…………………………………………………………9分
当n为正偶数时，3?2?n?1?4?????2?3n恒成立
?3n? ∴?????n3?2?2??max????1? ???nn??2??1??3??2????????3??3??max?????1199????? ∵?? ∴…………11分 ???nn22??1414?2??1??2??1?3????2????3????2?????3??3??max?3??3?? 当n为正奇数时，?3?2n?1?4????2?3n恒成立
???3n? ∴????n3?2?2??min????1? ??nn??2??1??3??2????????3??min??3?????1133??? ∵? ∴………………………13分 ??n11??2?n?88?1??2??1?3????2????3????2?????3??min?3??3???3??93?? 综上所述，存在实数????,?，使n?N时，Cn?1?Cn恒成立…………………14分
?148?
北师大附中高二期末考试（含详细答案和评分标准）
