第22届全国中学生物理竞赛预赛参考解答
一、 国际物理（或世界物理）． 相对论；光的量子性
评分标准：本题10分．第1小问4分．第2小问6分（填写任意两项爱因斯坦的成果只要正确都给6分）．
二、找个地方把弹簧测力计悬挂好，取一段细线做成一环，挂在弹簧测力计的挂钩上，让直尺穿在细环中，环与直尺的接触点就是直尺的悬挂点，它将尺分为长短不等的两段．用细线栓住木块
G 挂在直尺较短的一段上，细心调节直尺悬挂点及木块悬挂点的位
x1 0 置，使直尺平衡在水平位置（为提高测量精度，尽量使二悬挂点
x2 M 相距远些），如图所示．设木块质量为m，直尺质量为M．记下二悬挂点在直尺上的读数x1、x2，弹簧测力计读数G．由平衡条件
m 和图中所设的直尺零刻度线的位置有
(1) (m?M)g?G
(1)、(2)式联立可得
?l?mg(x2?x1)?Mg??x2?
?2?(2)
m?G?l?2x2?
g?l?2x1?(3)
M?2G?x2?x1? g?l?2x1?(4)
评分标准：本题17分．
正确画出装置示意图给5分．（1）式、（2）式各4分，（3）式、（4）式各2分． 三、
S?M S O N r
图1
S? M S ??2R ??2R R ??O O r N 图2
自S作球的切线S
，并画出S经管壁反射形成的虚像点S?，及由S?画出球面的切线S?N，如图1所示，
1
由图可看出，只要S?M和S?N之间有一夹角，则筒壁对从S 向右的光线的反射光线就有一部分进入球的右方，不会完全落在球上被吸收．
由图可看出，如果r的大小恰能使S?N与S?M重合，如图2，则r就是题所要求的筒的内半径的最大
值．这时SM 与MN的交点到球心的距离MO就是所要求的筒的半径r．由图2可得
r?由几何关系可知
RR?
2cos?1?sin?（1）
sin???R2R?
（2）
由（1）、（2）式得
评分标准：本题18分．
给出必要的说明占8分，求出r 占10分．
四、由巴耳末—里德伯公式
r?23R 3（3）
11?) 22?kn可知赖曼系波长最长的光是氢原子由n = 2→ k = 1跃迁时发出的，其波长的倒数
1?R(
对应的光子能量为
1?12?3R 4(1)
E12?hc1?12?3Rhc 4(2)
式中h为普朗克常量．巴耳末系波长最短的光是氢原子由n = ∞→ k = 2跃迁时发出的，其波长的倒数
对应的光子能量
1?2??R 4(3)
E2??Rhc 4(4)
用A表示该金属的逸出功，则eU1和eU2分别为光电子的最大初动能．由爱因斯坦光电效应方程得
3Rhc?eU1?A 4(5)
2
解得
Rhc?eU2?A 4eA?(U1?3U2)
22e(U1?U2) h?Rc(6)
(7) (8)
评分标准：本题20分．
(1)式3分，(2)式2分， (3)式3分，(4)式2分， (5)、 (6)式各3分, (7)、(8)式各2分．
五、设A与B碰撞前A的速度为v0，碰后A与B的速度分别为v1与V1，由动量守恒及机械能守恒定律有
由此解得
mv0?mv1?kmV1
(1) (2)
111222mv0?mv1?kmV1 222v1??(k?1)v0 k?12V1?v0
k?1(3) (4)
为使A能回到坡上，要求v1<0，这导致k>1；为使A从坡上滑下后再能追上B，应有?v1?V1，即(k?1)?2，这导致k?3，于是，为使第二次碰撞能发生，要求 k > 3 (5) 对于第二次碰撞，令v2和V2分别表示碰后A和B的速度，同样由动量守恒及机械能守恒定律有：
由此解得
m(?v1)?kmV1?mv2?kmV2
1111222mv1?kmV?mv?kmV22 1222224k?(k?1)2v0 v2?(k?1)2
(6)
V2?4(k?1)v0
(k?1)2(7)
若v2>0，则一定不会发生第三次碰撞，若v2<0，且?v2?V2，则会发生第三次碰撞．故为使第三次碰撞不会发生，要求A第三次从坡上滑下后速度的大小(?v2)不大于B速度的大小V2，即
由(6)、（7）、（8）式得
?v2?V2
(8)
3
由 可求得
(9)式的解为
(10)与(5)的交集即为所求：
k2?10k?5?0
k－10 k + 5 = 0
2
（9）
k?10?80?5?25 2
5?25?k?5?25 (10)
3?k?5?25 (11)
评分标准：本题25分．
求得(3)、(4) 式各得3分，求得（5）式得4分，求得（6）、（7）、（8）、（10）和（11）式各得3分．
六、导体细杆运动时，切割磁感应线，在回路中产生感应电动势与感应电流，细杆将受到安培力的作用，安培力的方向与细杆的运动方向相反，使细杆减速，随着速度的减小，感应电流和安培力也减小，最后杆将停止运动，感应电流消失．在运动过程中，电阻丝上产生的焦耳热，全部被容器中的气体吸收．
根据能量守恒定律可知，杆从v0减速至停止运动的过程中，电阻丝上的焦耳热Q应等于杆的初动能，即
12 (1) Q?mv02容器中的气体吸收此热量后，设其温度升高T，则内能的增加量为
5 (2) ΔU?RΔT
2在温度升高T的同时，气体体积膨胀，推动液柱克服大气压力做功．设液柱的位移为Δl，则气体对外做功
A?p0SΔl
(3)
SΔl就是气体体积的膨胀量
ΔV?SΔl (4)
由理想气体状态方程pV?RT，注意到气体的压强始终等于大气压p0，故有
由热力学第一定律
由以上各式可解得
评分标准：本题25分．
p0ΔV?RΔT
Q?A?ΔU
2mv0Δl?
7p0S(5)
(6)
(7)
4
（1）式6分，（2）式4分，（3）、（4）、（5）式各2分，（6）式5分，（7）式4分．
七、由电容C?、C??组成的串联电路的等效电容
CC?C??串?C??C??
由电容C?、C??组成的并联电路的等效电容
C并?C??C??
利用此二公式可求得图示的4个混联电路A、B间的等效电容Ca、Cb、Cc、Cd分别为
CC1C2C?C?CC1C2?C1C3?C2C3a?3??C3
12C1?C2
CC1C3CC?C1C3?b?C?C2C2C32?1?C2
1?C3C1?C3
C?Cc??C?1?C23C?C1C3?C2C31?C2??C3C?C?C3
1?C23
C?C1?C3?CCd??2?1C2?C2C3CCC?C2
1?C3??C21?2?C3由（1）、（3）式可知
Ca?Cc
由（2）、（4）式可知 Cb?Cd
由（1）、（2）式可知 Ca?Cb
由（3）、（4）式可知 Cc?Cd
若Ca?Cd，由（1）、（4）式可得
C21?2C1C2?C1C3?C2C3?0
因为C1、C2和C3均大于0，上式不可能成立，因此 Ca?Cd
若Cb?Cc，由（2）、（3）式可得
5
1）2）3）4）5）6）7）8）9）（
（
（
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第22届全国中学生物理竞赛预赛答案
