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第八章不定积分
§1 不定积分概念与基本积分公式
正如加法有其逆运算减法,乘法有其逆运算除法一样,微分法也有它的逆运算———积分法.我们已经知道,微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数,那么与之相反的问题是:求一个未知函数,使其导函数恰好是某一已知函数.提出这个逆问题,首先是因为它出现在许多实际问题之中.例如:已知速度求路程;已知加速度求速度;已知曲线上每一点处的切线斜率(或斜率所满足的某一规律),求曲线方程等等.本章与其后两章(定积分与定积分的应用)构成一元函数积分学.
一原函数与不定积分
定义1 设函数f 与F 在区间I 上都有定义.若
F′( x) =f( x), x∈I,
则称F 为f 在区间I 上的一个原函数.
11在( - ∞,+ ∞) 上的一个原函数, 因为( 32 例如, x)′= x; 又如 3 3 1 1 3
- x是x2 cos 2 x 与- 是sin 2 x 在(-∞, + ∞) 上的原函数, 因为 2
1 1 cos 2 x + 1 都( -cos 2 x )′= ( -cos 2 x + 1)′= sin 2 x . 2
2 2
如果这些简单的例子都可从基本求导公式反推而得的话,那么
1 F( x) =xarctan x - ln(1 + x2 )
2
是f ( x) = arctan x 的一个原函数, 就不那样明显了.事实上, 研究原函数必须解决下面两个重要问题:
1 .满足何种条件的函数必定存在原函数? 如果存在, 是否唯一?
2 .若已知某个函数的原函数存在, 又怎样把它求出来?
关于第一个问题, 我们用下面两个定理来回答; 至于第二个问题, 其解答则是本章接着要介绍的各种积分方法.
……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 178第八章不定积分
定理8 .1 若函数f 在区间I 上连续,则f 在I 上存在原函数F , 即F′( x) = f ( x) , x∈ I .
本定理要到第九章§5 中才能获得证明.
由于初等函数为连续函数,因此每个初等函数都有原函数(只是初等函数的原函数不一定仍是初等函数).当然,一个函数如果存在间断点,那么此函数在其间断点所在的区间上就不一定存在原函数(参见本节习题第4题) .
定理8 .2 设F 是f 在区间I 上的一个原函数, 则
(i)F + C 也是f 在I 上的原函数, 其中C 为任意常量函数①; (ii)f 在I 上的任意两个原函数之间, 只可能相差一个常数. 证(i)这是因为[F( x)+ C]′= F′( x)= f( x), x∈I .
( ii) 设F 和G 是f 在I 上的任意两个原函数, 则有
[F( x) -G( x)]′=F′( x) - G′( x)
= f ( x) - f ( x ) = 0 , x ∈ I.
根据第六章拉格朗日中值定理的推论,知道
F( x ) - G( x) ≡ C, x ∈ I .
定义2 函数f 在区间I 上的全体原函数称为f 在I 上的不定积分,记作
∫f ( x ) dx,
其中称
(1)
②
∫为积分号, f(x)为被积函数, f( x)dx为被积表达式
, x为积分变量. 尽管记
号(1)中各个部分都有其特定的名称,但在使用时必须把它们看作一整体.
由定义2 可见, 不定积分与原函数是总体与个体的关系, 即若F 是f的一个原函数, 则f 的不定积分是一个函数族{ F +C} , 其中C 是任意常数.为方便起见, 写作
∫f ( x) d x = F( x ) +C.(2)
这时又称C 为积分常数, 它可取任一实数值.于是又有
∫f ( x) d x ′= [ F( x )+ C]′=f ( x),
(3)
df(x)dx=d[F( x) + C]=f( x)dx.(4) ∫
按照写法(2 ) , 本节开头所举的几个例子可写作
①这里既把
C看作常量函数,又把它作为该常量函数的函数值.在不致混淆时,以后常说“C为任
f的原函数F的微分,即dF= F′( x)dx= f(x)dx.
意常数”.
②不久可看到,被积表达式可认同为
……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 179 §1 不定积分概念与基本积分公式
1x2d x = x3+ C,
3
1 sin 2 x d x = - cos 2 x + C,
2
1 2
arctan x dx = x arctan x - ln( 1 + x) + C.
2
此外,一个函数“存在不定积分”与“存在原函数”显然是等同的说法.
不定积分的几何意义若F 是f 的一个原函数,
∫ ∫ ∫
则称y=F(x)的图象为f的一条积分曲线.于是,f的不定积分在几何上表示f的某一积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一切积分曲线组成的曲线族(图8-1).显然,若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线, 则这些切线互相平行.
在求原函数的具体问题中,往往先求出全体
原函数,然后从中确定一个满足条件F(x0)=
图8 - 1
y0(称为初始条件,它由具体问题所规定)的原函数,它就是积分曲线族中通过点( x0 ,y0)的那一条积分曲线.例如,质点作匀加速直线运动时,a( t)= v′( t) = a, 则
v( t) =
∫ad t = at + C .
t0 ) + v0 .
若已知v( t0 ) = v0 , 代入上式后确定积分常数C = v0 - at0 , 于是就有
v( t ) = a(t-
又因s′(t) = v(t),所以又有
s( t) =
∫[a( t - t
0
) + v0 ] d t
12
= + v0t + C1 .
a( t - t0 ) 2
若已知s( t0 ) = s0 , 则C1 = s0 - v0 t0 ,代入上式得到
1 s( t) = a(t-
2
t0 )2 + v0 (t -
t0 ) + s0 .
二基本积分表
怎样求原函数? 读者很快就会发现这要比求导数困难得多.原因在于原函数的定义不像导数定义那样具有构造性, 即它只告诉我们其导数恰好等于某个已知函数f , 而没有指出怎样由f 求出它的原函数的具体形式和途径.因此, 我
数学分析第八章不定积分
