欧阳科创编 2021.02.05
特别解析：特征方程法求解递推关系中的数列通项
一、 时间：2021.02.05 创作：欧阳科 二、（一阶线性递推式）
设已知数列{an}的项满足a1?b,an?1?can?d,其中c?0,c?1,求这个数列的通项公式。
定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为x0，则当
x0?a1时，an为常数列，即an?a1;当x0?a1时,an?bn?x0，其中{bn}是以c为公比的等比数列，即bn?b1cn?1,b1?a1?x0.
证明：因为c?0,1,由特征方程得x0?bn?1?an?1?x0?can?d?d.作换元bn?an?x0,则1?cdcd?can??c(an?x0)?cbn. 1?c1?c当x0?a1时，b1?0，数列{bn}是以c为公比的等比数列，故
bn?b1cn?1;
当x0?a1时，b1?0，{bn}为0数列，故an?a1,n?N.（证毕）
3例1．已知数列{an}满足：an?1??1an?2,n?N,a1?4,求an. 解：作方程x??1x?2,则x0??3.当a1?4时，a1?x0,b1?a1?3?11.
3222数列{bn}是以?1为公比的等比数列.于是：
3111133111bn?b1(?)n?1?(?)n?1,an???bn???(?)n?1,n?N.
3232223例2．已知数列{an}满足递推关系：an?1?(2an?3)i,n?N,其中i欧阳科创编 2021.02.05
欧阳科创编 2021.02.05
为虚数单位。当a1取何值时，数列{an}是常数数列？
解：作方程x?(2x?3)i,则x0??6?3i.要使an为常数，即则必须
5a1?x0??6?3i. 5三、（二阶线性递推式）
定理2：对于由递推公式an?2?pan?1?qan，a1??,a2??给出的数列?an?，方程x2?px?q?0，叫做数列?an?的特征方程。若
x1,x2是特征方程的两个根，当x1?x2时，数列?an?的通项为
n?1an?Ax1n?1?Bx2，其中
A，B由a1??,a2??决定（即把a1,a2,x1,x2A、B的方程组）；
A，B由
和n?1,2，代入ann?1?Ax1n?1?Bx2，得到关于
当x1?x2时，数列?an?的通项为an?(A?B)x1n?1，其中
a1??,a2??决定（即把a1,a2,x1,x2和n?1,2，代入an?(A?Bn)x1n?1，
得到关于A、B的方程组）。 例3：已知数列?an?满足
a1?a,a2?b,3an?2?5an?1?2an?0(n?0,n?N)，求数列?an?的通项公
式。
解法一（待定系数、迭加法）由3an?2?5an?1?2anan?2?an?1?2(an?1?an)， 33?0，得
且a2?a1?b?a。则数列?an?1?an?是以b?a为首项，2为公比的等比数列，
于是：an?1?an?(b?a)(2)n?1。把n?1,2,3,???,n代入，得：
322a2?a1?b?a，a3?a2?(b?a)?()，???，an?an?1?(b?a)()n?2。
33把以上各式相加，得：
欧阳科创编 2021.02.05
欧阳科创编 2021.02.05
21?()n?12223(b?a)。 an?a1?(b?a)[1??()?????()n?2]?23331?322?an?[3?3()n?1](b?a)?a?3(a?b)()n?1?3b?2a。
33解法二（特征根法）：数列?an?：
3an?2?5an?1?2an?0(n?0,n?N)， a1?a,a2?b的特征方程是：
3x2?5x?2?0。
?x1?1,x2?2,?an?Ax1n?1?Bx2n?1?A?B?(2)n?1。 33?a?A?B?A?3b?2a又由a1?a,a2?b，于是：? ?2??b?A?B?B?3(a?b)?3?故an?3b?2a?3(a?b)(2)n?1
3四、(分式递推式)
定理3：如果数列{an}满足下列条件：已知a1的值且对于
n?N，都有an?1?ph?qr,r?0,a1??pan?q（其中ran?hp、q、r、h均为常数，且
h），那么，可作特征方程x?px?q. rrx?h（1）当特征方程有两个相同的根?（称作特征根）时，若
a1??,则an??,n?N;若a1??，则an?1??,n?N,其中bnbn?1r?(n?1),n?N.特别地，当存在n0?N,使bn0?0时，a1??p?r?无穷数列{an}不存在；（2）当特征方程有两个相异的根?1、
?2时，则an??2cn??1cn?1，n?N,其中
cn?a1??1p??1rn?1(),n?N,(其中a1??2).
a1??2p??2r欧阳科创编 2021.02.05
特别解析：特征方程法求解递推关系中的数列通项之欧阳科创编
