课时跟踪检测（三） 三角恒等变换与解三角形 （小题练）
A级——12＋4提速练
一、选择题
π?π???1．(2018·河北保定一模)已知cos?α＋?＝sin?α－?，则tan α的值为( ) 3?3???A．－1 C.3
B．1 D．－3
13133??1
解析：选B 由已知得cos α－sin α＝sin α－cos α，整理得?＋?sin
2222?22?
α＝?＋
?1
?23?
?cos α，即sin α＝cos α，故tan α＝1. 2?
2
2．(2018·福州模拟)3cos 15°－4sin15°cos 15°＝( ) 1A. 2C．1 解析：选D
2
B.
2 2
D.2
3cos 15°－4sin15°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·2sin
15°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝3cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝2.故选D.
C5
3．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
25
A．42 C.29
B.30 D．25
C5C3?5?
解析：选A ∵cos＝，∴cos C＝2cos2－1＝2×??2－1＝－.在△ABC中，由
2525?5?
?3?222
余弦定理，得AB＝AC＋BC－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×?－?＝32，∴AB＝42.
?5?
π??4．(2018·唐山模拟)已知α是第三象限的角，且tan α＝2，则sin?α＋?＝( ) 4??A．－
10
10
B.10 10310
10
310C．－
10
D.
sin α??＝tan α，cos α解析：选C 因为α是第三象限的角，tan α＝2，且???sin2α＋cos2α＝1，
所
1
以cos α＝－
π?1525π?＝－，sin α＝－，则sin?α＋?＝sin αcos＋24?1＋tanα554?
π25252310
cos αsin＝－×－×＝－，选C.
4525210
5．(2018·武汉调研)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2bcos C＝2a＋c，则B＝( )
A.C.π 6π 3
B.D.π 42π 3
解析：选D 因为2bcos C＝2a＋c，所以由正弦定理可得2sin Bcos C＝2sin A＋sin
C＝2sin(B＋C)＋sin C＝2sin Bcos C＋2cos Bsin C＋sin C，即2cos Bsin C＝－sin C，
12π
又sin C≠0，所以cos B＝－，又0 23 ?π??π?6．已知3cos 2α＝4sin?－α?，α∈?，π?，则sin 2α＝( ) ?4??4? 7 A. 91C. 9 2 7B．－ 91D．－ 9 2 解析：选D 由题意知3(cosα－sinα)＝22(cos α－sin α)，由于 ??α∈?，π?，因而cos α≠sin α，则3(cos α＋sin α)＝22，那么9(1＋sin 2α) ? 1＝8，sin 2α＝－. 9 7．(2019届高三·昆明三中、玉溪一中联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)－c，则tan C等于( ) 3A. 44C．－ 3 2 2 2 2 π?4 4B. 33D．－ 4 2 2 2 解析：选C 因为2S＝(a＋b)－c＝a＋b－c＋2ab，由面积公式与余弦定理，得 absin C＝2abcos C＋2ab，即sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)2＝4， sinC－4sin Ccos C＋4cosCtanC－4tan C＋44 ＝4，所以＝4，解得tan C＝－或tan C222 sinC＋cosCtanC＋13＝0(舍去)． 8．(2018·洛阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c2 2 2 2 成等比数列，且a＝c＋ac－bc，则 A.C.3 23 3 22 cbsin B＝( ) 23 3 B. D.3 2 2 2 2 解析：选B 由a，b，c成等比数列得b＝ac，则有a＝c＋b－bc，由余弦定理得 b2＋c2－a2bc1π22 cos A＝＝＝，故A＝.对于b＝ac，由正弦定理，得sinB＝sin Asin C2bc2bc23 ＝ 3csin Csin C23·sin C，由正弦定理，得＝＝.故选B. 2＝2bsin BsinB33 sin C2 π??2 9．(2019届高三·广西三市联考)已知x∈(0，π)，且cos?2x－?＝sinx，则 2?? ?π?tan?x－?＝( ) 4?? 1A. 3C．3 1B．－ 3D．－3 π??22 解析：选A 由cos?2x－?＝sinx得sin 2x＝sinx，∵x∈(0，π)，∴tan x＝2， 2?? ?π?tan x－1＝1. ∴tan?x－?＝ 4?1＋tan x3? π?3??2?π 10．(2018·广东佛山二模)已知tan?α＋?＝，则cos?－α?＝( ) 4?4??4?A.7 25 B.D.9 2524 25 16C. 25 π?1＋tan α31??π?解析：选B 由tan?α＋?＝＝，解得tan α＝－，所以cos2?－α?4?1－tan α47??4? ?π?1＋cos?－2α? sin αcos α?2?1＋sin 2α1 ＝＝＝＋sin αcos α，又sin αcos α＝22 222sinα＋cosαtan α719 ＝2＝－，故＋sin αcos α＝. tanα＋150225 11．(2018·福州模拟)已知m＝则m＝( ) 3 α＋β＋γ，若sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β， α－β＋γ 1A. 23C. 2 3B. 4D．2 解析：选D 设A＝α＋β＋γ，B＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A＋B,2β＝A－B，因为sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β，所以sin(A＋B)＝3sin(A－B)，即sin Acos B＋cos Asin B＝3(sin Acos B－cos Asin B)，即2cos Asin B＝sin Acos B，所以tan A＝2tan B， tan A所以m＝＝2. tan B12．(2018·南宁、柳州联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 bc＝1，b＋2ccos A＝0，则当角B取得最大值时，△ABC的周长为( ) A．2＋3 C．3 B．2＋2 D．3＋2 b2＋c2－a2222 解析：选A 由已知b＋2ccos A＝0，得b＋2c·＝0，整理得2b＝a－c. 2bca2＋c2－b2a2＋3c223ac3 由余弦定理，得cos B＝＝≥＝，当且仅当a＝3c时等号成立， 2ac4ac4ac2 此时角B取得最大值，将a＝3c代入2b＝a－c可得b＝c.又bc＝1，所以b＝c＝1，a＝3.故△ABC的周长为2＋3.故选A. 二、填空题 5π?1?13．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan?α－?＝，则tan α＝________. 4?5?5π?π?tan α－11??解析：tan?α－?＝tan?α－?＝＝， 4?4?1＋tan α5??3 解得tan α＝. 23答案： 2 14．(2018·贵州模拟)如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为a海里和2a海里，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A和B的距离为________海里． 解析：依题意知∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，在△ABC中，由余弦定理知AB＝AC＋BC－2AC·BCcos 120°＝7a＝7a.即灯塔 2222 2 2 A与灯塔B的距离为7a海里． 答案：7a 15．(2018·贵州模拟)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 4 a＝4，asin B＝3bcos A，若△ABC的面积S＝43，则b＋c＝________. 解析：由正弦定理，得sin Asin B＝3sin Bcos A， π 又sin B≠0，∴tan A＝3，∴A＝. 3 132222 由S＝bc×＝43，得bc＝16，由余弦定理得，16＝b＋c－bc，∴c＋b＝32， 22∴b＋c＝8. 答案：8 16.(2018·成都模拟)如图，在直角梯形ABDE中，已知∠ABD＝∠EDB＝90°，C是BD上一点，AB＝3－3，∠ACB＝15°，∠ECD＝60°，∠EAC ＝45°，则线段DE的长度为________． 解析：易知∠ACE＝105°，∠AEC＝30°，在直角三角形ABC中， AC＝ ACCEACsin 45°，在三角形AEC中，＝?CE＝，在直角三角形 sin 15°sin 30°sin 45°sin 30° AB23 ×22sin 45°sin 60°ABCED中，DE＝CEsin 60°，所以DE＝CEsin 60°＝×＝sin 30°sin 15°1 2×3－3＝6. 6－24答案：6 B级——难度小题强化练 1．已知sin θ＋cos θ＝2sin α，sin 2θ＝2sinβ，则( ) A．cos β＝2cos α C．cos 2β＝2cos 2α B．cosβ＝2cosα D．cos 2β＝－2cos 2α 2 2 2 22 解析：选C 由同角三角函数的基本关系可得sinθ＋cosθ＝1，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝1＋sin 2θ.由已知可得(2sin α)2＝1＋2sin2β，即4sin2α1－cos 2α1－cos 2β2 ＝1＋2sinβ.由二倍角公式可得4×＝1＋2×，整理得cos 2β＝ 222cos 2α.故选C. 2．在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin(B＋C) 2 2 2 ?π?A.?0，? 2?? B.? ?π，π? ??42? 5
高考数学二轮复习课时跟踪检测(三)三角恒等变换与解三角形(小题练)理
