考点17 立体几何中的计算问题
【知识框图】
【自主热身，归纳总结】
1、(2019扬州期末） 底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是________．
2、(2019镇江期末）已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________． 3、(2019宿迁期末）设圆锥的轴截面是一个边长为2 cm的正三角形，则该圆锥的体积为________ cm. 4、(2019南通、泰州、扬州一调）已知正四棱柱的底面长是3 cm，侧面的对角线长是35 cm，则这个正四棱柱的体积为________cm.
5、(2019南京学情调研） 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，则四棱锥A1B1C1CB的体积是________．
3
3
6、(2018盐城三模）若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为 ． 7、(2017无锡期末） 已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°且面积为3π的扇形，则该圆锥的体积等于________．
8、(2016南京、盐城、连云港、徐州二模）如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥AA1EF的体积是________．
9、（2016无锡期末） 如图，在圆锥VO中，O为底面圆心，半径OA⊥OB，且OA＝VO＝1，则O到平面VAB的距离为________．
【问题探究，变式训练】 题型一 柱、锥的面积与体积
知识点拨： 求空间几何体的体积的本质就是找几何体的高(即找线面垂直)，常见的空间几何体体积的求法有：作高法、转换顶点法、割补法.
例1、(2019南京、盐城一模）如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝4，AC＝3，BC＝1，E，F分别为AB，PC的中点，则三棱锥BEFC的体积为________．
【变式1】(2019泰州期末）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点M为棱AA1的中点，记三棱锥A1MBC的体V1
积V1，四棱锥A1BB1C1C的体积为V2，则的值是________．
V2
【变式2】(2018常州期末） 已知圆锥的高为6，体积为8.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆
台体积是7，则该圆台的高为________．
【变式3】(2018镇江期末） 已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为6，则该正四棱锥的体积为________．
2π【变式4】(2018扬州期末） 若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为的扇形，则此圆锥的体积
3为________．
【变式5】(2018南京、盐城、连云港二模）在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分)，折叠成底面边长为2的正四棱锥SEFGH(如图2)，则正四棱锥SEFGH的体积为________．
（图1）
（图2）
【变式6】(2018苏锡常镇调研（二）） 在棱长为2的正四面体P?ABC中，M，N分别为PA，BC的中点，点D是线段PN上一点，且PD?2DN，则三棱锥D?MBC的体积为 ．
【变式7】(2017徐州、连云港、宿迁三检）如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，已知AB?AA1?3，点
P在棱CC1上，则三棱锥P?ABA1的体积为 ．
A1 B1
P
A B C C1
(第10题)
【变式8】(2017南京三模）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点D为侧棱BB1上的动点．当AD＋DC1最小时，三棱锥D－ABC1的体积为 ．
A1
B1 C1
D
A B
C
题型二 球的面积与体积
知识点拨：解决空间几何体的外接球问题的关键是确定球心的位置，求得球半径．多数试题中几何体的外接球通常可以考虑转化为相应长方体的外接球模型，这一类题在各类考题中常有出现，同学们一定要掌握其方法．
例1、(2019苏州期末）如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为________．
【变式1】(2019苏州三市、苏北四市二调）设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝2 m，PB＝3 m，PC＝4 m，则球O的表面积为________m.
【变式2】(2018无锡期末）直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，AA1＝5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．
【变式3】(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调） 现有一个底面半径为3 cm，母线长为5 cm的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸造成一个实心铁球(不计损耗)，则该铁球的半径是________cm.
题型三、立体几何中的综合问题
知识点拨：立体几何中的综合问题往往涉及到求体积的最值问题或者涉及到复杂的几何体的问题，常用的方法是涉及复杂的几何体进行简化，最值问题运用不等式或者求导进行解决。
例1、(2017南京、盐城一模） 将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB＝3，BC＝2，圆柱上底
2
面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥OEFG体积的最大值是________．
【变式1】(2017扬州期末） 已知一个长方体的表面积为48(单位：cm)，12条棱长度之和为36(单位：cm)，则这个长方体的体积的取值范围是________(单位：cm)．
【变式2】（2019年南通一模）有一个体积为2的长方体，它的长?宽?高依次为a，b，1．现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得新长方体高的最大值为 ．
【变式3】(2019苏北四市、苏中三市三调） 已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=3 cm，BC=1 cm，CD=2 cm．将此直角梯形绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 cm．
【变式4】(2019苏州期初调查）将一张半径为3＋1(cm)的圆形纸片按如图所示的实线裁剪，并按虚线折叠为各棱长均相等的四棱锥，则折叠所成的四棱锥的体积为________cm.
3
3
3
2
【变式5】(2018南通、泰州一调）如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm，圆柱的底面积为93 cm.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm(不计损耗)．
2
【变式6】(2018苏州期末）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球
形容器的表面积至少为________(容器壁的厚度忽略不计，结果保留π)．
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【变式7】(2017苏州期末） 一个长方体的三条棱长分别为3,8,9，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为________．
2020年高考数学二轮优化提升专题训练 考点17 立体几何中的计算问题（原卷版）
