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生物统计学教案
第九章 两因素及多因素方差分析
教学时间：5学时 教学方法：课堂板书讲授
教学目的：重点掌握固定模型、随机模型两因素方差分析的方法步骤,掌握混合模型
的方差分析，了解多因素的方差分析方法。。
讲授难点：固定模型、随机模型两因素方差分析的方法步骤
9.1 两因素方差分析中的一些基本概念 9.1.1 模型类型
交叉分组设计：A因素的a个水平和B因素的b个水平交叉配合，共构成ab个组合，每一组合重复n次，全部实验共有abn次。
固定模型：A、B两因素均为固定因素。 随机模型：A、B两因素均为随机因素。
混合模型：A、B两因素中，一个是固定因素，一个是随机因素。 9.1.2 主效应和交互作用
主效应：由于因素水平的改变所造成的因素效应的改变。
A1 A2 A1 A2 B1 18 24 B1 18 28 B2 38 44 B2 30 22 先看左边的表。A因素的主效应应为A2水平的平均效应减A1水平的平均效应，B的主效应类似。
A2B1?A2B2A1B1?A1B224?4418?36A?????62222A1B2?A2B2A1B1?A2B138?4418?24B?????202222当A1B1＋A2B2＝A1B2＋A2B1时，A、B间不存在交互作用。这里A1B1＋A2B2＝62，A1B2＋A2B1＝62，因此A、B间不存在交互作用。
交互作用：若一个因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同，则它们之间存在交互作用。
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现在看右边的表。
A（在B1水平上）＝A2B1－A1B1＝28－18＝10 A（在B2水平上）＝A2B2－A1B2＝22－30＝－8
显然A的效应依B的水平不同而不同，故A、B间存在交互作用。交互作用的大小为 AB＝（A1B1＋A2B2）－（A1B2＋A2B1） 9.1.3 两因素交叉分组实验设计的一般格式
假设A因素有a水平，B因素有b水平，则每一次重复包含ab次实验，实验重复n次，总的实验次数为abn次。以xilk表示A因素第i水平，B因素第j水平和第k次重复的观测值。一般格式见下表。
因 素 B j=1,2,…,b
B1 B2 … Bb 总计 A1 x111 x121 x1b1 x112 x122 x1b2
x11n x12n x1bn x1. . 因
素 A2 x211 x221 x2b1 A x212 x222 x2b2
x21n x22n x2bn x2. .
Aa xa11 xa21 xab1
xa12 xa22 xab2
xa1n xa2n xabn xa. .
总计 x.1. x.2. x.b. x. . .
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上表中的各种符号说明如下：
xi?? A 因素第i水平的所有观察值的和，其平均数为xi..
x.j. B因素第j水平所有观察值的和， 其平均数为x.j. xij.A因素第i水平和B因素的第j水平和所有观察值的和，
其平均数为xij.
x... 所有观察值的总和， 其平均数为x...
xij???xijk,k?1anxij??xij?n,?i?1,2,???,a??j?1,2,???,bx???????xijki?1j?1k?1bnx???,x????abn关于实验重复的正确理解：这里的“重复”是指重复实验，而不是重复观测。 9.2 固定模型 9.2.1 线性统计模型
xijk????i??j?????ij??ijk?i?1,2,???,a??j?1,2,???,b?k?1,2,???,n?对于固定模型，处理效应是各处理平均数距总平均数的离差，因此
??i?1ai?0,??j?1bj?0交互作用的效应也是固定的
?????i?1aij?0,?????j?1bij?0εijk是相互独立且服从N(0 , σ2)的随机变量。
固定模型方差分析的零假设为：
H01:?1??2??????a?0H02:?1??2??????b?0.
?i?1,2,???,aH03:????ij?0??j?1,2,???,b.
9.2.2 平方和与自由度的分解
与单因素方差分析的基本思想一样，把总平方和分解为构成总平方和各个分量平方和之和，将总自由度做相应的分解，由此得到各分量的均方。根据均方的数学期望，得出各个分量的检验统计量，从而确定各因素的显著性。
????xi?1j?1k?1abnabnijk?x????2?????xi???x?????x?j??x????xij??xi???x?j??x????xijk?xij?i?1j?1k?1a?????????2?bn??xi???x?????an?x?j??x???2i?1j?1b?2?n??xij??xi???x?j??x???i?1j?1ab???????x2i?1j?1k?1abnijk?xij??2上述各项分别为A因素、B因素、AB交互作用和误差平方和，即：
SSA?bn??xi???x????i?1ba2SSB?an?x?j??x???j?1ab??2SSAB?n??xij??xi???x?j??x???i?1j?1b??2SSe?自由度可做相应的分解：
????xi?1j?1k?1anijk?xij??2dfT?abn?1由此得出各因素的均方：
MSA?dfAB??a?1??b?1?dfA?a?1dfe?ab?n?1?dfB?b?1SSeSSASSBSSAB,MSB?,MSAB?,MSe??a?1??b?1?a?1b?1ab?n?1?9.2.3 均方期望与统计量F的确定
bna2E?MSA??????i,a?1i?122anbE?MSB?????j2?b?1j?12abn????2E?MSAB??????ij,?a?1??b?1?i?1j?1E?MSe???2.
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对上式E(MSA)、E(MSB)和E(MSe)中的第二项，分别记为：
1a2????i,?a?1i?121b2????j,?b?1j?12????2???????a?1??b?1?i?1j?11ab2ij于是：
222E?MSA???2?bn??,E?MSB???2?an??,E?MSAB???2?n???这时，零假设还可以写为：
2H01:???0,2H02:???0,2H03:????0用F作为检验统计量，以对A因素的检验为例：
MSAF??MSe??2???的估计22?bn???的估计当F >Fα时拒绝H01。对B因素和AB交互作用的推断类似。
变差来源 平方和 自由度 均方 F 均方期望
A因素 SSA a-1 MSA MSA/MSe σ2+bn ηα2 B因素 SSB b-1 MSB MSB/MSe σ2+an ηβ2 AB交互作用 SSAB (a-1)(b-1) MSAB MSAB/MSe σ2+n ηαβ2 误差 SSe ab(n-1) MSe σ2 总和 SST abn-1
两因素固定模型的方差分析表如下： 9.2.4 平方和的简易计算法
为了简化计算过程，实际计算时各平方和是按以下各式计算的
2SST????xijki?1j?1k?1abnx?2???abnx?21a2SSA?xi?????,?bni?1abnx?2??其中称为校正项，用C表示。
abn.
x?21b2SSB?x?j?????anj?1abn
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