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生物统计学教案
第八章 单因素方差分析
教学时间：5学时 教学方法：课堂板书讲授
教学目的：重点掌握方差分析的方法步骤,掌握单因素和两因素的方差分析 ,了解多
重比较的一些常用方法
讲授难点：掌握单因素和两因素的方差分析
8.1 方差分析的基本原理 8.1.1 方差分析的一般概念
第五章讲过两个平均数差异性的比较可用t检验，在多组数据之间作比较便需要通过方差分析来完成。在多组数据之间作比较可以在两两平均数之间比较，但会提高犯I型错误的概率。最简单的方差分析是单因素方差分析。下面举例说明。 例1 调查5个不同小麦品系株高，结果见下表： 品 系 I II III IV V
1 64.6 64.5 67.8 71.8 69.2 2 65.3 65.3 66.3 72.1 68.2 3 64.8 64.6 67.1 70.0 69.8 4 66.0 63.7 66.8 69.1 68.3 5 65.8 63.9 68.5 71.0 67.5 和 326.5 322.0 336.5 354.0 343.0 平均数 65.3 64.4 67.3 70.8 68.6
例2 从每窝均有4只幼仔的初生动物中，随机选择4窝，称量每只动物的出生重，结果如下：
窝 别
I II III IV
精品
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1 34.7 33.2 27.1 32.9 2 33.3 26.0 23.3 31.4 3 26.2 28.6 27.8 25.7 4 31.6 32.3 26.7 28.0 和 125.8 120.1 104.9 118.0 平均数 31.450 30.025 26.225 29.500
这两个例子都只有一个因素，例1是“品系”，例2是“窝别”。在每个因素下，又有a个水平（或称为处理），例1有5个品系，例2
有4个窝别。a个水平可以认为是a个总体，表中的数据是从a个总体中抽出的a个样本。方差分析的目的就是由这a个样本推断a个总体。因为上述实验都只有一个因素，对这样的数据所进行的方差分析称为“单因素方差分析”。单因素方差分析的典型数据见下表。
X1 X2 X3 … Xi … Xa 1 x11 x21 x31 xi1 xa1 2 x12 x22 x32 xi2 xa2 3 x13 x23 x33 xi3 xa3 ┇
j x1j x2j x3j xij xaj ┇
n x1n x2n x3n xin xan 平均数 x1. x2. x3. xi. xa. 表中的xij表示第i次处理下的第j次观测值，下标中的“.”表示求和，具体说明如下：
xi???xij,j?1an1xi??xi?,n1x???x??ani?1,2,???,ax?????xij,i?1j?1n精品
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8.1.2 不同处理效应与不同模型
线性统计模型：
xij????i??ij?i?1,2,???,a??j?1,2,???,n模型中的xij是在i水平下的第j次观测值。μ是对所有观测值的一个参数，称为总平均数。αi是仅对第i次处理的一个参数，称为第i次处理效应。εij是随机误差成分，要求误差是服从N(0，σ2)的独立随机变量。
固定因素：①因素的水平确定后，因素的效应即被确定。②因素的a个水平
是人为特意选择的。③方差分析所得结论只适用于所 选定的a个水平。
固定效应模型：处理固定因素所使用的模型。
随机因素：①因素的水平确定之后，其效应并不固定。②因素的a个水平是从水平总体中随机抽取的。③从随机因素的a个水平所得到的结论，可推广到该因素的所有水平上。
随机效应模型：处理随机因素所使用的模型。 8.2 固定效应模型 8.2.1 线性统计模型
xij????i??ij?i?1,2,???,a??j?1,2,???,n其中αi是处理平均数与总平均数的离差，因这些离差的正负值相当，因此
??i?1ni?0如果不存在处理效应，各αi都应当等于0，否则至少有一个αi≠0。因此，零假设为： H0：α1＝α2＝ … ＝αa＝0 备择假设为：
HA：αi ≠ 0（至少有一个i）
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8.2.2 平方和与自由度的分解
???xi?1j?1ananij?x????????xi?1j?1a2anij?xi???xi??x?????2???xij?xi?i?1j?1??2?2??xij?xi??xi??x???????xi??x???i?1j?1i?1j?1n??an2对于每个固定的xi .，
???xi?1j?1anij?xi??xi??x???????xi?1ai??x????xij?xi??0j?1n?? 因此，
???xi?1j?1anij?x???222?????n?xi??x?????xij?xi?i?1i?1j?1aan
以SST表示总平方和，SSA表示处理平方和，SSe表示误差平方和，
anSST???xij?x??i?1j?1??2SSA?n??xi??x???i?1a2SSe???xij?xi?i?1j?1an??2三者关系为： SST＝SSA＝SSe
自由度可做同样的分割： dfT＝dfA + dfe dfT＝an－1 dfA＝a－1 dfe＝an－a
为了得出检验统计量，以处理平方和与误差平方和除以相应的自由度，得出相应的均方。
MSe＝SSe/dfe MSA＝SSA/dfA。 8.2.3 均方期望与统计量F
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MSe是σ2的无偏估计量，证明如下：
1?SSe?E?MSe??E?E?SSe???na?a?na?a??an1?E???xij?xi?na?a?i?1j?1????2????an1?E??????i??ij????i??i?na?a?i?1j?1?an1?E????ij??i?na?a?i?1j?1?2????2???a?an?122?E????ij?n??i??na?a?i?1j?1i?1?1?na?2?a?2na?a??2??
用同样的方法可以得出MSA的均方期望。
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生物统计学教案(8)
