【数学思想】数形结合
【解题过程】(x?1)2?(y?2)2?5,圆心（1,-2），圆心B(1,?2)，则直线为
3x?y?5?0
【思路点拨】该弦所在直线过圆心 【答案】A
6.圆x2?y2?r2上有某点P（x0,y0），求过此点的切线方程. 【知识点】圆的切线 【数学思想】数形结合
【解题过程】与圆心直线斜率乘积圆心（0,0），半径r,切线斜率与点P（x0,y0）为?1 ，k1?y0xx,k??0，l:y?y0??0(x?x0),化简得x0x?y0y?r2 x0y0y0【思路点拨】点斜式求直线 【答案】x0x?y0y?r2 能力型 师生共研
7.圆x2?y2?4x?0在点P(1,3)处的切线方程为（ ）
A.x?3y?2?0 B.x?3y?4?0 C.x?3y?4?0 D.x?3y?2?0 【知识点】圆的切线 【数学思想】数形结合
【解题过程】(x?2)2?y2?4,圆心（2,0），点P在圆上，圆心与P的直线斜率
k1??3,?k?3，所以直线为x?3y?2?0 3【思路点拨】抓住点在圆上，该点处的切线的斜率特点. 【答案】D
8.直线3x?y?23?0截圆x2?y2?4得的劣弧的圆心角为__________. 【知识点】弦长、圆心角 【数学思想】数形结合
【解题过程】直线与圆交于AB，可求得AB?2.又OA?OB?2，所以?AOB是
等边三角形，?AOB＝
?3.
【思路点拨】求出AB，解?AOB
? 3探究型 多维突破 【答案】
9.已知圆C：x2?y2?2x?4y?3?0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程. 【知识点】求切线方程 【数学思想】分类讨论
【解题过程】∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1或过原点,故所求切线方程为：x＋y－3＝0，x＋y＋1＝0，x－y＋5＝0，x－y＋1＝0.y?(2?6)x
【思路点拨】利用截距绝对值相等
【答案】x＋y－3＝0，x＋y＋1＝0，x－y＋5＝0，x－y＋1＝0.y?(2?6)x 10.已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.从圆C外一点P(x1，y1)向圆引一条切线，切点为M，O为原点，且有PM＝PO，求使PM最小的点P的坐标. 【知识点】圆的切线 【数学思想】方程思想
【解题过程】∵切线PM与CM垂直，∴PM2?PC2?CM2,又∵PM＝PO，
P(x,y)，坐标代入化简得2x?4y?3?0.PM最小时即PO最小，而PO最小，即
过O点作直线2x?4y?3?0的垂线与之交点即为P， 从而解方程组
?2x?4y?3?033得满足条件的点P坐标为P(?,) ?y??2x105.?【思路点拨】找出P满足的条件，找到最小值得位置 【答案】P(?自助餐
1.直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为（ ）
33,) 105.
A.1 B.22 C.7 D.3 【知识点】圆的切线 【数学思想】转化思想
【解题过程】切线段的长度l?d2?r2,d为圆心（3,0）到直线上的点的距离，所以切线段最短，则当d最短时取得，dmin?22，lmin?8?1?7 【思路点拨】利用切线长的公式. 【答案】C.
2.直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于__________. 【知识点】弦长
【解题过程】根据圆的方程知，圆的圆心坐标为(0，0)，半径R＝2，弦心距
d?|?2|?1,，所以弦长AB?222?1?23. 3?1【思路点拨】弦长公式. 【答案】23 3.圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4 (m∈R). (1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒相交于两点； (2)求⊙C与直线l相交弦长的最小值. 【知识点】直线与圆位置关系、弦长最值问题 【数学思想】数形结合，转化思想
【解题过程】(1)将方程(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，变形为 (2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0.
直线l恒过两直线2x＋y－7＝0和x＋y－4＝0的交点，交点M(3,1).
又∵(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，∴点M(3,1)在圆C内，∴直线l与圆C恒两个交点.
(2)由圆的性质可知，当l⊥CM时，弦长最短. 又|CM|?(3?1)2?(1?2)2?5,
∴弦长为l?2r2?|CM|2?225?5?45.
【思路点拨】.找到几何关系 【答案】45
4.已知过点M??3,?3?的直线l与圆x2?y2?4y?21?0相交于A,B两点， （1）若弦AB的长为215，求直线l的方程； （2）设弦AB的中点为P，求动点P的轨迹方程. 【知识点】弦长、直线方程、轨迹问题 【数学思想】方程思想
【解题过程】（1）若直线l的斜率不存在，则l的方程为x??3，此时有
y2?4y?12?0，弦|AB|?|yA?yB|?2???6??8，所以不合题意. 故设直线l的方程为y?3?k?x?3?，即kx?y?3k?3?0.
将圆的方程写成标准式得x2??y?2??25，所以圆心?0,?2?，半径r?5.
2圆心?0,?2?到直线l的距离d?|3k?1|k?122，因为弦心距、半径、弦长的一半构成直
角三角形，所以
?15?2?3k?1??k2?1?25，即?k?3??0，所以k??3.
2所求直线l的方程为3x?y?12?0.
（2）设P?x,y?，圆心O1?0,?2?，连接O1P，则O1P?AB.当x?0且x??3时，
kO1P?kAB??1，又kAB?kMP?y?(?3)，
x?(?3)22y???2?y???3?3??5?5?则有???1，化简得?x????y???......（1）
x?0x???3?2??2?2?当x?0或x??3时，P点的坐标为?0,?2?,?0,?3?,??3,?2?,??3,?3?都是方程（1）
3??5?5?的解，所以弦AB中点P的轨迹方程为?x????y???.
2??2?2?22【思路点拨】.解析法求轨迹
3??5?5?【答案】3x?y?12?0 ?x????y???.
2??2?2?225.过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线夹角是60°，则点P的坐标是__________.
【知识点】圆的切线 【数学思想】转化思想
【解题过程】如图所示，过点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，OP.由已知得，∠APO＝30°，所以PO＝2.设P坐标为(x,y)，则
??x?y?22?0所求坐标为(2，2). ?22??x?y?4，
【思路点拨】角度转化为长度 【答案】(2，2). 6.已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定 【知识点】点与圆、直线与圆位置判别
【解题过程】M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则a2?b2?1， 【思路点拨】直接转化条件 【答案】C
人教课标版高中数学必修二《直线与圆的位置关系》教案-新版
