4.2.1 直线与圆的位置关系
（一）核心素养
通过学习直线与圆的位置关系，掌握解决问题的方法——代数法、几何法. （二）学习目标
1.清楚圆与直线的三种位置关系.
2.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系. 3.计算直线被圆截得的弦长的常用方法. 4.求过点的圆的切线方程. （三）学习重点
1.直线与圆的位置关系的判断方法. 2.用直线和圆的方程解决问题. （四）学习难点
1.用直线和圆的方程解决问题. 2.用坐标法判直线与圆的位置关系. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务
（1）读一读：阅读教材，填空： 直线与圆的三种位置关系的几何含义是：
直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 圆心到直线的距离d与半径r的关系 d
1.将直线方程与圆的方程联立成方程组.
2.利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程.
3.求出其判别式Δ的值.
4.比较Δ与0的大小关系，若Δ＞0，则直线与圆相交；若Δ=0，则直线与圆相切；若Δ＜0，则直线与圆相离.反之也成立. 方法二：几何法
1. 利用点到直线距离公式计算圆心到直线的距离d. 2. 计算出圆的半径为r.
3. 比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系，若d＞r，则直线与圆相离；若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线与圆相切. 反之也成立. 2.预习自测
（1）直线与圆有一个交点称为_____，有两个交点称为_____，没有交点称为____. 【知识点】直线与圆位置关系定义 【数学思想】分类与整合 【解题过程】根据定义填空 【思路点拨】看图理解定义 【答案】相切、相交、相离.
（2）直线与圆的方程联立方程组，若方程组无解，则直线与圆 ，若方程组仅有一组解，则直线与圆 ，若方程组有两组不同的解，则直线与圆_____. 【知识点】直线与圆位置关系定义 【数学思想】分类与整合 、数形结合 【解题过程】根据定义填空 【思路点拨】理解方程的解的定义 【答案】相离、相切、相交.
（3）直线x?2y?1?0与圆?x?1???y?1??r2?r?0?相交，求r的取值范围. 【知识点】直线与圆位置关系 【数学思想】 函数与方程 【解题过程】圆心到直线的距离d?2222 ，因为相交，所以r?d?55【思路点拨】圆心到直线的距离与半径的关系
【答案】r?25 5（4）判定直线3x?4y?12?0与圆(x?3)2?(y?2)2?4位置关系是 . 【知识点】直线与圆位置关系
【解题过程】圆心(3,2)到直线的距离d?1，d?r，所以相交 【思路点拨】圆心到直线的距离与半径的关系 【答案】相交. (二)课堂设计 1.知识回顾
（1）直线与圆的方程
（2）直线与圆的位置关系和等价条件 （3）两点间的距离和点到直线的距离公式 2.问题探究
探究一 结合实例，认识圆与直线的平面位置关系★ ●活动① 清楚圆与直线的位置关系
我们清楚两个物体在空间位置关系有上下前后左右这几种，那么我们了解在名片上两个图形同样也有上下左右的位置关系.那么圆和直线这两种图形的位置关系我们应该如何称呼呢？
首先我们设想自己正在海边观看日出：
当看到太阳从海岸线上升起的时候，太阳和地平线之间的位置关系叫什么呢？ 当看到太阳与海岸线相切的时候呢？太阳完全升起来的时候呢？
根据课本知识和图像我们知道直线与圆的位置关系根据两个图形的交点个数可以分为相交、相切、相离三种.请完成下列空格：
直线与圆有一个交点称为_____，有两个交点称为_____，没有交点称为____. 【答案】相切、相交、相离
【设计意图】从实际问题中引入圆与直线位置关系，并运用课本中知识来解答实际问题，巩固预习成果，明确直线与圆的位置关系.
●活动② 辨析概念、学会根据图像判别直线与圆的位置关系 请看图判断直线与圆位置的关系.
【答案】相离、相切、相交.
【设计意图】通过图片显示直线与圆的位置关系并让同学们加以辨析，明确概念理解与专业名词的运用，加深记忆同时检验预习成果. 探究二 探究判断圆与直线位置关系的方法 ●活动① 回顾直线与圆的方程
大家能够说出直线解析式的通式吗？（抢答） (1)点斜式：y?y1?k(x?x1) (2)斜截式：y?kx?b (3)两点式：(4)截距式：
y?y1x?x1?(y2?y1,x2?x1) y2?y1x2?x1xy??1(a?0,b?0) ab(5)一般式：Ax?By?C?0(A，B不同时为0). 大家能够说出圆的三种方程吗？（抢答）
222(1)圆的标准方程：(x?a)?(y?b)?r
(2)圆的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0(D2＋E2－4F＞0). (3)圆的直径式方程：(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0(圆的直径的两端点是
A(x1,y1),B(x2,y2)
.
【设计意图】通过回顾直线和圆方程的知识，为后面学习使用代数方法求直线与圆位置关系打下基础.
●活动② 做例题初步认识代数和几何方法的解题思路
已知直线l:3x?y?6?0圆心为C的圆x2?y2?2y?4?0,判断直线l与圆的位
置关系.如果相交,求出它们的交点坐标. （书本例题）
【设计意图】从课本的例子出发，让同学们初步建立代数方法和几何方法解决此类问题的解题方法和思路.
●活动③ 直线与圆位置关系中的参数取值问题
例1 已知圆的方程是x2?y2?2,直线y?x?b,当b为何值时,（1）圆与直线有两个公共点；（2）只有一个公共点；（3）没有公共点. 【知识点】直线与圆的位置关系、不等式 【数学思想】分类讨论
【解题过程】联立方程求判别式或者计算距离
【思路点拨】判别式法或者圆心到直线的距离与半径比较 【答案】（1）b?2或b??2（2）b?2或b??2（3）?2?b?2
同类训练 设m,n?R,若直线(m?1)x+(n?1)y?2=0与圆(x?1)2+(y?1)2=1相切,则的取m+n值范围（ ）
A.[1?3,1+3] C.[2?22,2+22]
B.(??,1?3][1+3,+?) D.(??,2?22][2+22,+?)
【知识点】直线与圆的位置关系、不等式 【数学思想】方程不等式
【解题过程】利用相切求出m,n关系，再用重要不等式求出范围 【思路点拨】利用相切找条件 【答案】D
探究三 直线被圆截得的弦长的常用方法★ ●活动① 直接求弦长的方法
例2 在平面直角坐标系xoy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为
255. 5【知识点】垂径定理、弦长公式 【数学思想】数形结合
人教课标版高中数学必修二《直线与圆的位置关系》教案-新版
