选修4-1 几何证明选讲
第1课时 圆的进一步认识 掌握圆的切线的判定定理和性质定理，弦切角定理，割线定理，切割线定理和圆内接四边形的判定定理与性质定理，能用这些定理解决有关圆的问题.
1. 如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，求∠BCD.
① 理解圆的切线的判定定理和性质定理，圆周角定理，弦切角定理，相交弦定理，割线定理，切割线定理和圆内接四边形的判定定理与性质定理.② 能应用圆的切线的判定定理和性质定理，圆周角定理，弦切角定理，相交弦定理，割线定理，切割线定理和圆内接四边形的判定定理与性质定理解决与圆有关的问题.
1
解：由题设∠BAD＝∠BOD＝50°，
2
则∠BCD＝180°－∠BAD＝130°.
1
2. 如图，AB是圆O的直径，MN与圆O相切于点C，AC＝BC，求sin∠MCA的值.
2
解：由弦切角定理得，∠MCA＝∠ABC，
ACACAC5
sin∠ABC＝＝＝＝. 22
ABAC＋BC5AC5
5
. 5
3. 已知△ABC内接于圆O，BE是圆O的直径，AD是BC边上的高.求证：BA·AC＝BE·AD. 故sin∠MCA＝
证明：连结AE.
∵ BE是圆O的直径，
∴ ∠BAE＝90°，∴ ∠BAE＝∠ADC.
∵ ∠BEA＝∠ACD，∴ Rt△BEA∽Rt△ACD. BEAC
∴ ＝，∴ BA·AC＝BE·AD. BAAD
4. 如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N.若CM＝2，MD＝4，CN＝3，求线段NE的长.
解：设AM＝a，由相交弦定理可知，CM·MD＝AM·MB，CN·NE＝AN·NB，即2×4＝a×2a，
8
3×NE＝2a×a，消去a解得NE＝.
3
5. 如图，EA与圆O相切于点A，D是EA的中点，过点D引圆O的割线，与圆O相交于点B，C，连结EC.求证：∠DEB＝∠DCE.
证明：∵ EA与圆O相切于点A，
2
由切割线定理得DA＝DB·DC. ∵ D是EA的中点，∴ DA＝DE.
DEDB2
∴ DE＝DB·DC.∴ ＝.∵ ∠EDB＝∠CDE，
DCDE
∴ △EDB∽△CDE，∴ ∠DEB＝∠DCE.
1. 圆周角定理
（1） 圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半.
（2） 推论1：同弧（或等弧）所对的圆周角相等.同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
（3） 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角等于90°.反之，90°的圆周角所对的弧为半圆（或弦为直径）.
2. 圆的切线
（1） 圆的切线的性质与判定
① 相关定义：当直线与圆有2个公共点时，直线与圆相交；当直线与圆有且只有1个公共点时，直线与圆相切，此时直线是圆的切线，公共点称为切点；当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离.
② 切线的判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.
③ 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. ④ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等. （2） 弦切角
① 定义：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角称为弦切角. ② 弦切角定理：弦切角的度数等于其所夹弧的度数的一半.
③ 推论：同弧（或等弧）上的弦切角相等，同弧（或等弧）上的弦切角与圆周角相等. 3. 相交弦定理
相交弦定理：圆的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积相等. 4. 切割线定理
（1） 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.
（2） 切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的等比中项.
5. 圆内接四边形
（1） 圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补.
（2） 圆内接四边形判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆.[备课札记]
, 1 圆周角与弦切角定理及应用)
, 1) （2017·苏锡常镇一模）如图，圆O的直径AB＝6，C为圆上一点，
BC＝3，过点C作圆的切线l，过点A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D，E.求∠DAC的大小与线段AE的长.
解：如图，连结OC，BE，
因为BC＝OB＝OC＝3， 所以∠CBO＝60°. 因为∠DCA＝∠CBO， 所以∠DCA＝60°.
又AD⊥DC得∠DAC＝30°.
因为∠ACB＝90°，得∠CAB＝30°， 所以∠EAB＝60°，从而∠ABE＝30°，
1
所以AE＝AB＝3.
2
变式训练
如图，CP是圆O的切线，P为切点，直线CO交圆O于A，B两点，AD⊥CP，垂足为D.求证：∠DAP＝∠BAP.
证明：∵ CP与圆O 相切，∴ ∠DPA＝∠PBA. ∵ AB为圆O的直径，∴ ∠APB＝90°， ∴ ∠BAP＝90°－∠PBA.
∵ AD⊥CP，∴ ∠DAP＝90°－∠DPA， ∴ ∠DAP＝∠BAP.
, 2 圆的切线的判定与性质)
, 2) 如图，∠PAQ是直角，圆O与射线AP相切于点T，与射线AQ相交
于B，C两点.求证：BT平分∠OBA.
∵ AT是切线，∴ OT⊥AP.
∵ ∠PAQ是直角，即AQ⊥AP，∴ AB∥OT， ∴ ∠TBA＝∠BTO.
又OT＝OB，∴ ∠OTB＝∠OBT，
∴ ∠OBT＝∠TBA，即BT平分∠OBA. 备选变式（教师专享）
AO
如图，AC切圆O于D，AO的延长线交圆O于B，BC切圆O于B，若AD∶AC＝1∶2，求
OB
的值.
∵ AD∶AC＝1∶2，∴ D为AC的中点. 又AC切圆O于D，∴ OD⊥AC.∴OA＝OC. ∴ △AOD≌△COD，∴ ∠1＝∠2. 又△OBC≌△ODC，∴ ∠3＝∠2.
∴ ∠1＝∠2＝∠3＝60°，∴ OC＝2OB.
AO
∴ OA＝2OB，即＝2.
OB
, 3 圆内接四边形的判定与性质)
, 3) （2017·南通、扬州、泰州模拟）如图，已知AB为圆O的一条弦，
点P为弧AB的中点，过点P任作两条弦PC，PD，分别交AB于点E，F.求证：PE·PC＝PF·PD.
因为∠PAB＝∠PCB，点P为弧AB的中点， 所以∠PAB＝∠PBA，
所以∠PCB＝∠PBA. 又∠DCB＝∠DPB，
所以∠PFE＝∠PBA＋∠DPB＝∠PCB＋∠DCB＝∠PCD， 所以E，F，D，C四点共圆. 所以PE·PC＝PF·PD. 备选变式（教师专享）
如图，已知AP是圆O的切线，P为切点，AC是圆O的割线，与圆O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点.
（1） 求证：A，P，O，M四点共圆； （2） 求∠OAM＋∠APM的大小.
（1） 证明：连结OP，OM， 因为AP与圆O相切于点P， 所以OP⊥AP.
因为M是圆O的弦BC的中点，所以OM⊥BC， 于是∠OPA＋∠OMA＝180°.
由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补， 所以A，P，O，M四点共圆.
（2） 解：由（1）得A，P，O，M四点共圆， 所以∠OAM＝∠OPM.
因为AP是圆O的切线，P为切点，所以OP⊥AP， 所以∠OPM＋∠APM＝90°， 所以∠OAM＋∠APM＝90°.
, 4 相交弦定理、割线定理及切割线定理的应用)
, 4) （2017·苏州暑期检测）如图，△ABC是圆O的内接三角形，PA是
圆O的切线，A为切点，PB交AC于点E，交圆O于点D，若PE＝PA，∠ABC＝60°，且PD＝1，PB＝9，求EC.
解：∵ 弦切角∠PAE＝∠ABC＝60°，又PA＝PE，∴ △PAE为等边三角形.由切割线定2
理有PA＝PD·PB＝9，
∴ AE＝EP＝PA＝3，ED＝EP－PD＝2，EB＝PB－PE＝6， 由相交弦定理有EC·EA＝EB·ED＝12， ∴ EC＝12÷3＝4. 变式训练
（2017·南京、盐城期末）如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA，PB分别交半圆O于点D，C.若AD＝2，PD＝4，PC＝3，求BD的长.
解：由割线定理得PD·PA＝PC·PB， 则4×（2＋4）＝3×（3＋BC），解得BC＝5.
π
又AB是半圆O的直径，故∠ADB＝. 2
则在Rt△PDB中有BD＝PB－PD＝64－16＝43.
1. （2017·苏州期末）如图，点E是圆O内两条弦AB和CD的交点，过AD延长线上一点F作圆O的切线FG，G为切点，已知EF＝FG.求证：EF∥CB.
2
2
证明：由切割线定理得FG＝FA·FD.
EFFD2
又EF＝FG，所以EF＝FA·FD，即＝. FAEF
因为∠EFA＝∠DFE，所以△DEF∽△EAF， 所以∠FED＝∠FAE.
因为∠FAE＝∠DAB＝∠DCB，所以∠FED＝∠BCD， 所以EF∥CB.
2. 如图所示，△ABC是圆O的内接三角形，且AB＝AC，AP∥BC，弦CE的延长线交AP
2
于点D.求证：AD＝DE·DC.
2
证明：连结AE，则∠AED＝∠B.
∵ AB＝AC，∴ ∠ACB＝∠B，∴ ∠ACB＝∠AED.
∵ AP∥BC，∴ ∠ACB＝∠CAD， ∴ ∠CAD＝∠AED.
又∠ADC＝∠EDA，∴ △ACD∽△EAD. CDAD2
∴ ＝，即AD＝DE·DC. ADED
3. （2017·南京、盐城模拟）△ABC的顶点A，C在圆O上，B在圆O外，线段AB与圆O交于点M.
（1） 如图①，若BC是圆O的切线，且AB＝8，BC＝4，求线段AM的长； （2） 如图②，若线段BC与圆O交于另一点N，且AB＝2AC，求证：BN＝2MN.
（1） 解：因为BC是圆O的切线，故由切割线定理得BC＝BM·BA. 设AM＝t，因为AB＝8，BC＝4，
2
所以4＝8（8－t），解得t＝6，即线段AM的长度为6. （2） 证明：因为四边形AMNC为圆内接四边形， 所以∠A＝∠MNB.
又∠B＝∠B，所以△BMN∽△BCA，
BNMN所以＝.
BACA
因为AB＝2AC，所以BN＝2MN.
4. （2017·常州期末）如图，过圆O外一点P作圆O的切线PA，切点为A，连结OP与圆O交于点C，过点C作AP的垂线，垂足为D.若PA＝25，PC∶PO＝1∶3，求CD的长.
2
解：延长PO交圆O于点B，连结OA. 设PC＝x（x＞0），
则由PC∶PO＝1∶3， 得PO＝3x，则PB＝5x. 因为PA是圆O的切线，
22
所以PA＝PC·PB，即（25）＝x·（5x），解得x＝2. 故OA＝OC＝4.
因为PA是圆O的切线，所以OA⊥PA.
CDPC1
又CD⊥PA，则OA∥CD，因此＝＝.
OAPO3
4
又OA＝4，所以CD＝. 3
1. （2017·苏北四市期末）如图，AB为半圆O的直径，点D为弧BC的中点，点E为BC的中点.求证：AB·BC＝2AD·BD.
证明：因为D为弧BC的中点， 所以∠DBC＝∠DAB，DC＝DB.
因为AB为半圆O的直径，所以∠ADB＝90°. 又E为BC的中点，所以EC＝EB，所以DE⊥BC， 所以△ABD∽△BDE.
ABBD2BD
所以＝＝，所以AB·BC＝2AD·BD.
ADBEBC
2. 如图，AB为圆O的切线，A为切点，C为线段AB的中点，过C作圆O的割线CED，求证：∠CBE＝∠BDE.
证明：因为CA为圆O的切线，
2
所以CA＝CE·CD.
CBCD2
又CA＝CB，所以CB＝CE·CD，即＝. CECB
又∠ECB＝∠BCD，
所以△BCE∽△DCB， 所以∠CBE＝∠BDE.
3. 如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直于BA，交BA的延长线于点F. 求证：
（1） ∠DEA＝∠DFA；
2
（2） AB＝BE·BD－AE·AC.
证明：（1） 连结AD，因为AB为圆O的直径， 所以∠ADB＝90°.
又EF⊥AB，∠EFA＝90°， 所以A，D，E，F四点共圆. 所以∠DEA＝∠DFA.
（2） 由（1）知，BD·BE＝BA·BF， 连结BC.又△ABC∽△AEF， ABAC
∴ ＝，即AB·AF＝AE·AC. AEAF
2
∴ BE·BD－AE·AC＝BA·BF－AB·AF＝AB（BF－AF）＝AB.
4. 如图，直线AB与圆O相切于点B，直线AO交圆O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C，且AD＝3DC，BC＝2，求圆O的直径.
解：因为DE是圆O的直径，则∠BED＋∠EDB＝90°. 又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°. 又AB切圆O于点B，得∠ABD＝∠BED， 所以∠CBD＝∠DBA.
ABAD
即BD平分∠CBA，则＝＝3.
BCCD又BC＝2，从而AB＝32，所以AC＝AB－BC＝4， 所以AD＝3.
2AB2
由切割线定理得AB＝AD·AE，即AE＝＝6，
AD
故DE＝AE－AD＝3，即圆O的直径为3.
与圆有关的辅助线的五种作法 （1） 有弦，作弦心距；
（2） 有直径，作直径所对的圆周角； （3） 有切点，作过切点的半径； （4） 两圆相交，作公共弦；
2
2
（5） 两圆相切，作公切线.
2024版高考数学一轮复习训练： 基础与考点过关 几何证明选讲 选修4-1
