2021年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析
一、选择题:1 10 小题,每小题5 分,共50 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题 纸指定位置上。．．．
?ex?1,x?0?，在x?0处（ (1)函数f(x)??x?1,x?0?）
(A)连续且取极大值.(C)可导且导数为0.
【答案】D(B)连续且取极小值.(D)可导且导数不为0.
ex?1【解析】因为limf(x)?lim?1?f(0)，故f(x)在x?0处连续.
x?0x?0xex?1?1f(x)?f(0)ex?1?x11x?，故，故选D.因为lim?lim?lim?f(0)?x?0x?0x?0x?0x?0x222222，f(x,x)?2xlnx，则df(1,1)?(2)设函数f(x,y)可微，且f(x?1,ex)?x(x?1)（ ）
(A)dx?dy.
【答案】C(B)dx?dy. (C)dy. (D)?dy.
xxx2【解析】f1?(x?1,e)?ef2?(x?1,e)?(x?1)?2x(x?1) ①
f1?(x,x2)?2xf2?(x,x2)?4xlnx?2x分别将?②
?x?0?x?1，?代入①②式有
y?1y?0??f1?(1,1)?f2?(1,1)?1，f1?(1,1)?2f2?(1,1)?2联立可得f1?(1,1)?0，f2?(1,1)?1，df(1,1)?f1?(1,1)dx?f2?(1,1)dy?dy，故选C.
sinx23ax?bx+cxx?03在处的次泰勒多项式为，则（ ） 21?x77(A)a?1，b?0，c??. (B)a?1，b?0，c?.
6677(C)a??1，b??1，c??. (D)a??1，b??1，c?.
66【答案】A(3)设函数f(x)?sinx?x3733?233???x??o(x)?1?x?o(x)?x?x?o(x)，故a?1，【解析】f(x)???2??1?x66??7b?0，c??，故选A.
6(4)设函数f(x)在区间[0,1]上连续，则?f(x)dx?01(A)lim?x??n?12nn?2k?1?1f???2n?2n?k?1?1f??.
2n??n (B)limx??2n?n?1n?2k?1?1f??.?2n?n(C)lim?x??n?1?k?2(D)lim?f??.
x???2n?nn?1【答案】B
【解析】由定积分定义秩，将(0,1)分成n份，取中间点的函数
?10?2k?1?1f(x)dx?lim?f??，即选B. x???2n?nn?1n2的正惯性指数与负惯性指数依(5)二次型f(x1,x2,x3)?(x1?x2)2?(x2?x3)2?(x3?x1)次为（ ）
(A)2,0.
【答案】B(B)1,1. (C)2,1. (D)1,2.
【解析】f(x1,x2,x3)?(x1?x2)?(x2?x3)?(x3?x1)?2x2?2x1x2?2x2x3?2x1x32222??1?1?011???所以A?121，故多项式?E?A??1?2?1?(??1)(??3)?.
???110??1?1???令上式等于零，故特征值为?1，3，0，故该二次型正惯性指数为1，负惯性指数为1，故
选B.
?1??3??1???????3??3?l1?1?l2?2，?2??2?k?1，?2????2(6)已知?1??0?，，记?1??1，
??3?1?，
?1??2??1???????若将?1，?2，?3两两正交，则l1，l2依次为（
）
51，. 22【答案】A (A)51(B)?，.
22(C)51，?.2215(D)?，?.
22【解析】利用斯密斯正交化
?0?[?,?]?，
?2??2?21?1??2??[?1,?1]?0????3??3?[?,?]5[?,?][?3,?1][?,?]1?1?32?2，故l1?31?，l2?32?2?.故选A.
[?2,?2][?1,?1][?2,?2]2[?1,?1]2）
(7)设A，B为n阶实矩阵，则下列不成立的是（?AO?(A)r???2r(A).TOAA???A(C)r??O【答案】C【解析】(A)r? (B)r??A?OAB?. ??2r(A)AT?O???2r(A).AT?BA???2r(A).AAT??A(D)r??BA?A?OO?T??r(A)?r(AA)?2r(A)，故A正确. TAA?AB??r(A)?r(AT)?2r(A). T?A??A(B)AB的列向量可由A的列线性表示，故r??O(C)BA的列向量不一定可由A的列线性表示.
?A(D)BA的列向量可由A的行线性表示，r??BAO??r(A)?r(AT)?2r(A). T?A?(8)设A，B为随机变量，且0?P(B)?1，下列命题中不成立的是 (A)若P(AB)?P(A)，则P(AB)?P(A).(B)若P(AB)?P(A)，则P(AB)?P(A).(C)P(AB)?P(AB)，则P(AB)?P(A).(D)若P(AAB)?P(AAB)，则P(A)?P(B).
【答案】D【解析】P(AAB)?P(A(AB))P(A)?P(AB)P(A)?P(B)?P(AB)P(AAB)?P(A(AB))P(AB)P(B)?P(AB)??P(AB)P(AB)P(A)?P(B)?P(AB)
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