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例如：设g（x）＞0，g'(x)?0。（a?x?b），则存在??（a，b）使得：g'(?)?f(b)?f(a)??g(?)lnf（b）-f(a)f'(?)证明：将待证明结论转变为：?,令g(x)?lng(x)g'(?)?g(b)?m??g(?)?g(a)?g(b)g(a) G'(x)?1?g'(x),对f(x)和g(x)应用拉格朗日定理得：???(a,b) g(x)f(b)?f(a)lng(b)?lng(a)1使?f'(?),即??g'(?)b?ab?ag(?)f(b)?f(a)f'(?)b?a又?g(b?ln)?lng(a)g'(?)?g(?)b?a故得证 ☆【例谈微分中值定理辅助函数的构造模式与方法二】☆
（1）使用罗尔定理时用“积分法”或“解微分方程法”构造辅助函数。使用“积分法”构造辅助函数的基本步骤：①将结论等式中的ξ换成x；②对第一步的结果进行变形，使两边求积分；③两边求不定积分；④把第三步的结果化成C=F（x）的形式，其中C为任意常数，且f（x）中不含有C；⑤最后的F（x）就是所要构造的辅助函数。
例如：设f（x）在?a,b?上连续，在?a,b?内可导，其中a＞1，且f'(a)?0证明在(a,b)内至少存在一点?，使f(?)?分析：将结论等式中f(?)?再变形为b???f'(?)ab??b?x?f'(?)的?都换成x，得到f(x)??f'(x)aaaf'(x)?,两边积分得：-aln(b?x)?lnc?lnf(x)b?xf(x)?c?(b?x)a?f(x),求得辅助函数为：F(x)?(b?x)a?f(x)证：设F(x)?(b?x)a?f(x),因为F（x）在?a,b?上连续，在(a,b)内可导，且F(a)?0?F(b),所以由罗尔定理知，存在??(a,b)，使得F(?)?0所以：F'(?)??a?(b??)a?1?f(?)?(b??)a?f'(?)?0b??所以：f(?)?f'(?)a . s ..
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（2）使用拉格朗日定理用“单边积分法”构造辅助函数。所谓的单边积分法就是：
①若所要证明的等式中只含有ξ，就是把有ξ的函数式与常数项分离到两边，将ξ换成x后进行单侧积分求出原函数即为辅助函数。
②若所要证明的等式中含有ξ和η，就把含有ξ的函数式与含有η的函数式分离到等式两边，将ξ换成x后进行单侧积分求出原函数即为辅助函数；将η换成x后进行单侧积分求出原函数即为另一辅助函数。
例如：设b＞a＞0，且已知f(x)在?a,b?上连续，在(a,b)内可导，试证明af(b)?bf(a)?f'(?)?f(?)存在??（a，b），使?ab(b?a)?2分析：等式左端为常数，将右端换成x，进行单侧积分，得xf'(x)?f(x)f(x)f(x)?dx??c,所求辅助函数为：F(x)??x2xxf(x)f(x)证明：设F(x)?,则F(x)?在?a,b?上满足拉格朗日xx中值定理的条件，所以存在??（a,b),使F(b)?F(a)?F'(?)(b?a)f(b)f(a)??f'(?)?f(?)af(b)?bf(a)??f'(?)?f(?)即：??,??2ba?ab(b?a)?2
（3）使用柯西中值定理时用“上下积分法”构造辅助函数
有些问题把结论等式中的ξ换成x后移到等式一边，若是分式且不能进行单边积分求原函数，可以考虑对分式的分子和分母分别进行积分，求各自的原函数，称为“上下积分法”。
例如：设f(x)在【a，b】上连续，在（a，b）内可导。且a＞0.存在ξ、η∈（a,b),使f’(ξ)=f'(?)?a?b?f'(?) 2? 分析：所给要证等式含有ξ和η的等式已经在等号两边。将ξ换成x后进行单侧
（a?b）f'(x)积分求出原函数f(x),即为一辅助函数；另将η换成x后得到,分别对
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分子分母进行积分求出原函数（a+b）f（x）和x，作为可使用柯西定理的两个辅助函数。
证明：因为f(x)在?a,b?上连续，在（a，b）内可导，且a＞0，所以f（x）在
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?a,b?上满足拉格朗日定理的条件，存在ξ和η∈（a，b）
使f'(?)?f(b)?f(a)
b?af(b)?f(a)f'(?)?
b2?a22?又对f(x)和x2使用柯西定理有：存在η∈（a，b），使
f(b)?f(a)a?b??f'(?)
b?a2?a?bf'(?) 2?即：
所以：f'(?)? ☆【微分中值定理在不等式证明中的运用】☆ （1）拉格朗日中值定理
要证明的命题如果是区间内至少有一点大于（小于）0，可以尝试使用拉格朗日中值定理。
在应用时，可以先构造辅助函数f（x），并确定使用拉格朗日中值定理的区间?a,b?，对f（x）在?a,b?区间上使用拉格朗日定理，再根据ξ与a、b之间的关系加强不等式。 （2）柯西中值定理
在研究两个函数的变量关系时，我们会想到柯西中值定理。
在用柯西中值定理证明不等式命题时，关键是要在对结果进行整理、变形的基础上，找出满足柯西中值定理的那两个函数。在应用柯西中值定理时，可以先构建两个辅助函数。
能用拉格朗日中值定理证明的不等式一定可以用柯西中值定理证明。
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（3）泰勒定理及其应用
如果想证明不等式中或者题设中含有一阶以上的导数时，一般利用泰勒定理比较方便。
泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广，随着研究导数的深入，高阶导数也经常出现，然而也正是泰勒定理体现的价值之处，去分析高阶导数的有关问题时，泰勒中值定理的应用非常广泛，它除了在高阶导数一些简单的应用以外，在证明不等式时应用也很方便。特别在已知某点的函数或高阶导数的符号时，用泰勒公式证明某些不等式较为方便。
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大学微积分l知识点总结(一)
