13—14学年第二学期
《数理金融学》期末考试试题（A）
题 注意事项：1.适用班级：11数学与应用数学本1.本2,2013数学（升本）
2.本试卷共1页.满分100分. 答3.考试时间120分钟. 4.考试方式：闭卷
一、选择题（每小题3分，共15分）
1．某证券组合由X、Y、Z三种证券组成，它们的预期收益率分别为10%、16%、20% 要它们在组合中的比例分别为30%、30%、40%，则该证券组合的预期收益率为______ A 15.3% B 15.8% C 14.7% D 15.0%
2．无风险收益率和市场期望收益率分别是0.06和0.12.根据CAPM模型，贝塔值为1.2 不的证券X的期望收益率为
A 0.06 B 0.144 C 0.12 D 0.132
3．无风险收益率为0.07，市场期望收益率为 0.15.证券X的预期收益率为 0.12，贝塔值 为1.3.那么你应该
内A 买入X，因为它被高估了；B 卖空X，因为它被高估了 C 卖空X，因为它被低估了；D 买入X，因为它被低估了 4.一个看跌期权在下面哪种情况下不会被执行？ 线A 执行价格比股票价格高； B 执行价格比股票价格低
C 执行价格与股票价格相等；D 看跌期权的价格高于看涨期权的价格
5.假定IBM公司的股价是每股95美元.一张IBM公司4月份看涨期权的执行价格为100美元， 期权价格为5美元.忽略委托佣金，看涨期权的持有者将获得一笔利润，如果股价 订A 涨到104美元 B 跌到90美元 C 涨到107美元 D 跌到 96美元
装 二、填空题（每小题3分，共15分）
1.风险厌恶型投资者的效用函数为
2.设一投资者的效用函数为u(x)=-e-ax,则其绝对风险厌恶函数A(x)= 3.均值-方差投资组合选择模型是由 提出的.
4.可以在到期日前任何一天行使的期权称之为
5.考察下列两项投资选择：（1）风险资产组合40%的概率获得 15%的收益，60%的概率获得5%的收益；（2）银行存款收益率为6%;则风险投资的风险溢价是 三、分析题（每小题15分，共30分）
1.设某人面临两种工作，需要从中选择出一种, 其收入R1R2都是不确定的.第一种工作是在私营公司里搞推销，薪金较高.如果干得好，每月可挣得2000元；干得一般，每月就只能挣得1000元.假定他挣得2000元和挣得1000元的概率各为1/2.第二种工作是在国营商店当售货员，每月工资1510元.但在国营商店营业状况极差的情况下，每月就只能得到510元的基本工资收入.不过，一般情况下国营商店营业状况不会极差，出现营业状况极差情况的可能性只有1％，因此第二种工作获得月收入1510元的可能性为99％.假设该人是风险厌恶者，这个人会选择哪一种工作呢？请说明理由.
2.经济系统中有一只无风险资产与2只风险资产X1,X2.无风险利率为r，无风险收益为R?1?r，风险资产X1,X2在时间0的价格分别为v1?v2?1，在时期1有3个可能的状态，它们的收益矩阵为：Z=[3 1 2;2 2 4]T
，试求正状态定价向量、等价概率分布，并讨论相应的套利机会. 四、计算题（共15分）
某个股票现价为40美元.已知在1个月后，股票价格为42美元或38美元.无风险年利率为12%（连续复利）. 请用无套利原理说明，（1）执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？ （2）执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系.
五、综合题（共25分）假设你的初始财富禀赋为单位资金1，将全部用于投资风险资产，证券市场上有n种风险资产可供你选择，风险资产的收益率为随机向量
X?(X1,X2,???,Xn)T,其期望收益率向量为??(?1,?T2,???,?n)，假设你是风险厌恶
者，期望收益率水平为rp,目标是构建一投资组合w实现风险最小化，现在请利用所学
知识，完成如下任务：（1）建立一个投资组合优化数学模型；（2）求解最优组合w; （3）求解最小化风险?p2的数学表达式；（4）假设市场上只有3种风险资产可以供你选择进行投资，其期望收益率向量为m=E(X)=(2,1,3)，协方差矩阵为∑=[1 0 0;0 2
T0;0 0 4]，你的期望收益率为rp=2，请求解你此时的最优投资组合w及面临的风险?p2.
13—14学年第二学期
题《数理金融学》期末考试试题（B）
注意事项：1.适用班级：11数学与应用数学本1、本2,13数学升本1、2。
2.本试卷共1页，满分100分。 答3.考试时间120分钟。 4.考试方式：“闭卷”。
一、选择题（每小题3分，共15分） 1.公平赌博是指____ _ 。
要 A 风险厌恶者不会参与。B 是没有风险溢价的风险投资。 C 是无风险投资。 D A 与 B 均正确。
2. 根据一种无风险资产和 N 种有风险资产作出的资本市场线是____ _ 。 不 A 连接无风险利率和风险资产组合最小方差两点的线。
B 连接无风险利率和有效边界上预期收益最高的风险资产组合的线。 C 通过无风险利率那点和风险资产组合有效边界相切的线。 D 通过无风险利率的水平线。
内 3．投资分散化加强时，资产组合的方差会接近____ _ 。 A 0 B 市场组合的方差 C 1 D 无穷大
4．一张股票的看涨期权的持有者将会承受的最大损失等于____ _ 。 线A 看涨期权价格 B 市值减去看涨期权合约的价格 C 执行价格减去市值 D 股价 5.考察下列两项投资选择（1）风险资产组合 40%的概率获得 15%的收益，60%的概率获得 5%的收益；（2）银行存款利率6%的年收益。假若你投资 100000 美元于风险资产组合， 则你的预期收益是____ _ 。
订 A 40000 美元 B 2500 美元 C 9000 美元 D 3000 美元 二、填空题（每小题3分，共15分）
1.设 h是一赌博，在未来有两种可能的状态或结果h1,h2，其中h1发生的概率为p，h2发装生的概率为1?p，则h是公平赌博的数学表达式为____ _ 。
2.“均值-方差”有效资产组合是这样一个资产组合，对确定的方差具有____ _ ，同
时对确定的期望收益率水平有____ _ 。
3. 证券市场线是指对任意资产组合Xp?M,由点____ _ 所形成的轨迹.证券市场线方程为____ _ 。
4.设w=(w1,w2鬃?,wTn)为一资产组合，若w满足____ _ ，则称之为套利资产组合。
5.如果无风险利率rf=6%,E(XM)=14%,E(Xp)=18%,则Xp的b=____ _ 。 三、简答题（每小题10分，共20分）
1.考虑3个资产A、B以及C。它们具有如下的风险特征：它们年收益率的标准差为50％，?值分别为0、1.5以及-1.5。另外，市场年组合收益率的均值为rM?12%，标准差为?M?20%，无风险利率为4％。由CAPM公式，计算这三个资产的风险溢价是多少?
2.假设有两种风险资产A和B。资产A：期望收益率rA?10%，收益率方差
?2?16%；资产B：期望收益率r，收益率方差?2AB?6%3%B?4%。你愿意持有哪一种资产？请说明理由。 四、应用题（共15分）
设企业Ⅰ在0期将发行100股股票，企业在1期的价值为随机变量VI(1)。企业的资金都是通过发行这些股票而筹措的，以致于股票持有者有资格获得VI(1)=完全的收益流.最后给出的有关数据是：
Vì??í$1000p=1/4I(1)=???$800p=3/4 cov(X1,XM)=0.045，
var(XM)=0.30 r=0.10，E(XM)=0.20。试用资本资产定价方程或风险自行
调节定价公式求出该股票在0期的合理价值。 五、计算题（第1题20分，第2题15分，共35分）
1.某个股票现价为50美元。已知在两个月后，股票价格为53美元或48美元。无风险年利率为10%（连续复利）。请用无套利原理说明，（1）执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？（2）执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间平价关系。 2.某个股票现价为50美元。有连续2个周期，每个周期为3个月，在每个周期内的单步二叉树的股价或者上涨6%或者下跌5%。利率为5%（连续复利）。求执行价格为51美元，有效期为6个月的欧式看跌期权的价值为多少？
2013～2014学年第二学期课程考试
《数理金融学》试卷（A卷）参考答案及评分标准
命题教师：熊洪斌
考试班级：11应数本1、2，13数学（升本）1、2 一、选择题（每小题3分，共15分） 1 2 3 4 5 B D B B C 二、填空题（每小题3分，共15分）
1. 凹函数（或u??(x)?0）； 2. a; 3. 马科维茨；4. 美式期权；5. 3%. 三、分析题（每小题15分，共30分）
1.解：首先计算这两种工作的预期月收入ER1和ER2：
ER1?0.5?2000?0.5?1000?1500（元）
（2分） ER2?0.99?1510?0.01?510?1500（元）（2分）
可见，两种工作月收入的期望值都为1500元，即ER1?ER2
再计算这两种工作月收入的方差?221和?2：
?21?0.5?(2000?1500)2?0.5?(1000?1500)2?250000（3分）
?22?0.99?(1510?1500)2?0.01?(510?1500)2?9900(3分)
所以，两种工作的标准差分别为?1?500，?2?3011.?1??2说明，第一种工作虽然收入可高达2000元，但风险大（即方差大）；第二种工作虽然收入最高只有1510元，但风险小（即方差小）.（2分）
ER1?ER2?1??2，由于该人是风险厌恶者，所以他会选择第二种工作.（3分）
2.解：令正状态定价向量j=(jT1,j2,j3)（1分）
则：ZT3?j(1,1)T,?j1i=i=1R（3分） ì??ì??3j??j11=1+j2+2j34即：?=1???í?2j4j?23?1+2j2+3=1 （1分）解得?íj2=-.（3分）
?+j???j?R412+j3=1/R????1???j3=2-1R所求向量j=(jT12311T1,j2,j3)=(4,R-4,2-R)（1分）
当2
等价概率分布律为：（3分） i 1 2 3 P(i) 1R 2?3144R 2R?1 在其他情形都会存在套利机会.（1分） 四、计算题（共15分）
解：股票的价格二叉树模型为：S?420?40qZSu1?q]Srf?12%,??1/12d?38,第1步：从股票二叉图得到风险中性概率q. 由无套利原理知：e0.12′1/12?4042q+38(1-q)
从 40?(10.01)=42q+38(1-q)
我们得到2.4=42q-38q=4q 所以 q=0.6 （3分） 第2步：对衍生产品价值Cu和Cd求平均.
(1)执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：
CqZCu?301?q]Cd?0看涨期权的价格为：
C11.80=1.01[q?3(1-q)?0]1.01B1.782（美元）（4分）(2)执行价格K=39美元的看跌期权的二叉树模型为：
PqZCu?001?q]C
d?1，所以看跌期权的价格为： P0=11.01[q?0(1-q)?1]0.41.01B0.396（美元）（4分） （3）P?S?C?Ke?r?，
P?S?0.396?40?40.396,C?Ke?r??1.782?39?e?0.01?40.396（4分）
五、综合题（共25分）
解： (1)对一定期望收益率rp，选择资产组合使其总风险最小的数学模型为：
min11T2s2p=2w?w s..tE(Xp)=mT壮wrp （5分） 1T?w1（2）应用标准的拉格朗日乘数法求解：
令L(w,?1,?2)?12w??w??1(rp?w???)??2(1?1?w) （2分）
其中l1和l2为待定参数，最优解应满足的一阶条件为：
?L?wT=?w-l1?ml2?10; ?Ll=rT?p-w?m0; （2分）
1?L?l=1-1T?w0;2得最优解： w*=?-1(l1?ml2?1). （2分）
令a=mT邋-1m,b=mT-11=1T?-1m,c=1T?-11,D=ac-b2
则 lpc-ba-rpb1=rD,l2=D. （2分）
最小方差资产组合方差为：s2*Tp=w?w*=c(rb21Dp-c)+c（2分） （4）由题意知，
轾0轾1?=犏10犏-1犏020，所以，=犏00犏犏?犏00.50， （1分） 臌004犏臌000.25m=E(X)=(2,1,3)T
\\ a=mT邋-1m=6.25=274,b=mT-11=134,
c=1T?-11=754,D=ac-b2=4. （4分）
当rrpc-b1a-rp=2时， l1=D=5,lpb12=D=5. (2分) 最优组合w*=15邋-1?m1-15?115(3,1,1)T=(0.6,0.2,0.2)T，
（1分） 最小方差为 s2*T*cb213p=w?w=D(rp-c)+c=5 （2分）
2013-2014第二学期数理金融期末试卷
