方程
错解剖析得真知（二十）平面解析几何初步
§7.1直线和圆的方程
一、知识导学
1．两点间的距离公式:不论A(d=|AB|=|AB|=|
2
1
，
1
)，B(
2
，
2
)在坐标平面上什么位置，都有
－
|或
，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|
-1
21
|.
1
2．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(，
1
)，B(
2
，
2
)，P(，)
之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以
A为起点，B为终点，P为分点，则定比分点公式是.当P点为AB的中点时，
λ=1，此时中点坐标公式是.
3．直线的倾斜角和斜率的关系
（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.
（2）斜率存在的直线，其斜率与倾斜角α之间的关系是=tanα.
4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围. 名称 斜截式 方程 说明 为直线的斜率 b为直线的纵截距 (点斜式 已知点，为直线的斜率 ) 为直线上的适用条件 倾斜角为90°的直线不能用此式 倾斜角为90°的直线不能用此式 两点式 =截距式 ()，()是直线上两个已知点 为直线的横截距 b为直线的纵截距 与两坐标轴平行的直线不能用此式 过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式 +=1 一般式 ，，分别A、B不全为零 为斜率、横截距和纵截距 5．两条直线的夹角。当两直线的斜率,都存在且·≠ -1时，tanθ=，
当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别.
6．怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断.
（1）斜率存在且不重合的两条直线①1∥②1⊥
2
1∶
， 2∶
，有以下结论：
=·
1∶
，且ｂ1＝ｂ2 = -1
，2 ∶
，当
1
2
（2）对于直线
2
，
2
，
1
，
都不为零时，有以下结论：
①1∥②1⊥
2
=
1
2
≠+
1
2
= 0
2
③
1
与
2
相交≠
④
1
与
2
重合==
7．点到直线的距离公式.
（1）已知一点P（）及一条直线：，则点P到直线的距离
d=
（2）两平行直线
1
； :
， 2
:之间的距离
d=.
8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系
（1）圆的标准方程：半径；
（2）圆的一般方程：
（
＞0），圆心坐标
，其中（，b）是圆心坐标，是圆的
为（-，-），半径为=.
二、疑难知识导析
1．直线与圆的位置关系的判定方法. （1）方法一 直线：
；圆：
.
一元二次方程
（2）方法二 直线: 直线的距离为
；圆：
，圆心（，b）到
d=
2．两圆的位置关系的判定方法.
设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为|O1O2|>1+2两圆外离； |O1O2|=1+2两圆外切； | 1-2|<|O1O2|<1+2两圆相交； | O1O2 |=|1-2|两圆内切；
1
，
2
，|O1O2|为圆心距，则两圆位置关系如下：
0<| O1O2|<| 1-2|两圆内含.
三、经典例题导讲
［例1］直线l经过P（2,3）,且在x,y轴上的截距相等,试求该直线方程.
错解：设直线方程为:,又过P(2,3),∴,求得a=5
∴直线方程为x+y-5=0.
错因：直线方程的截距式: 形.
的条件是:≠0且b≠0,本题忽略了这一情
正解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:,
∴直线方程为y=x
综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=x .
［例2］已知动点P到y轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P的轨迹方程.
错解：设动点P坐标为(x,y).由已知3 化简3
=x-2x+1+y-6y+9 .
2
2
2
2
当x≥0时得x-5x+y-6y+10=0 . ①
22
当x＜0时得x+ x+y-6y+10=0 . ②
错因：上述过程清楚点到y轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得
22 22
(x-)+(y-3)= ① 和 (x+)+(y-3)= - ② 两个平方数之和不可能为负数,故方程②的情况不会出现.
22 22
正解： 接前面的过程,∵方程①化为(x-)+(y-3)= ,方程②化为(x+)+(y-3)= - ,由于
22
两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P的轨迹方程为: (x-)+(y-3)= (x≥0)
2222
［例3］m是什么数时，关于x,y的方程（2m+m-1）x+（m-m+2）y+m+2=0的图象表示一个
圆？
22
错解：欲使方程Ax+Cy+F=0表示一个圆，只要A=C≠0，
222
得2m+m-1=m-m+2，即m+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3，
22
∴当m=1或m=-3时，x和y项的系数相等，这时，原方程的图象表示一个圆
22
错因：A=C，是Ax+Cy+F=0表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要条件是：
A=C≠0且＜0.
正解：欲使方程Ax+Cy+F=0表示一个圆，只要A=C≠0，
222
得2m+m-1=m-m+2，即m+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3，
22
(1) 当m=1时，方程为2x+2y=-3不合题意，舍去.
2222
(2) 当m=-3时，方程为14x+14y=1,即x+y=,原方程的图形表示圆.
［例4］自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆22
x+y-4x-4y+7＝0相切，求光线L所在的直线方程.
错解：设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A′(-3，-3)，于是L′过A(-3，-3).
设L′的斜率为k，则L′的方程为y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，
22
已知圆方程即(x-2)+(y-2)＝1，圆心O的坐标为(2，2)，半径r＝1 因L′和已知圆相切，则O到L′的距离等于半径r＝1
22
即
2
整理得12k-25k+12＝0
解得k＝ L′的方程为y+3＝(x+3) 即4x-3y+3＝0 因L和L′关于x轴对称 故L的方程为4x+3y+3＝0. 错因：漏解
正解：设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A′(-3，-3)， 于是L′过A(-3，-3).
设L′的斜率为k，则L′的方程为y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，
22
已知圆方程即(x-2)+(y-2)＝1，圆心O的坐标为(2，2)，半径r＝1 因L′和已知圆相切，则O到L′的距离等于半径r＝1
即
2
整理得12k-25k+12＝0 解得k＝
或k＝
L′的方程为y+3＝(x+3);或y+3＝(x+3)。 即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0 因L和L′关于x轴对称
故L的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0.
和圆
的交点，且满足下列条件之
［例5］求过直线
一的圆的方程：
（1） 过原点；（2）有最小面积. 解：设所求圆的方程是：
即：
（1）因为圆过原点，所以，即
高中理科数学解题方法篇方程与函数
