1986年全国高中数学联赛试题
第一试
1．选择题(本题满分42分，每小题7分，每小题答对得7分，答错得0分不答得1分) ⑴ 设－1 A．{x|2nπ+θ ? A．M={纯虚数} B．M={实数} C．{实数}?? M ?{复数} D．M={复数} ⑶ 设实数a、b、c满足 ?a－bc－8a+7=0， ?22 ?b+c+bc－6a+6=0． 2 2 2 那么，a的取值范围是( ) A．(－∞，+∞) B．(－∞，1]∪[9，+∞) C．(0，7) D．[1，9] ⑷ 如果四面体的每一个面都不是等腰三角形，那么其长度不等的棱的条数最少为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 ⑸ 平面上有一个点集和七个不同的圆C1，C2，…，C7，其中圆C7恰好经过M中的7个点，圆C6恰好经过M中的6个点，…，圆C1恰好经过M中的1个点，那么M中的点数最少为( ) A．11 B．12 C．21 D．28 1 ⑹ 边长为a、b、c的三角形，其面积等于，而外接圆半径为1，若 4111 s=a+b+c，t=++， abc则s与t的大小关系是 A．s>t B．s=t C．s 本题共有4个小题，每小题的答案都是000到999的某一个整数，请把你认为正确的答案填在 上． ⑴ 在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，其球心距为13，若作一平面与这二球面相切，且与圆柱面交成一个椭圆，则这个椭圆的长轴长与短轴长之和是 ． ⑵ 已知f(x)=|1－2x|，x∈[0，1]，那么方程 1 f(f(f(x)))=x 2的解的个数是 ． 41231000 ⑶设f(x)=x，那么和式f()+f()+f()+…+f()的值等于 ； 4+21001100110011001 ⑷设x、y、z为非负实数，且满足方程4 5x+9y+4zx－682 5x+9y+4z+256=0，那么x+y+z的最大值与 最小值的乘积等于 ． 第二试 1．(本题满分17分)已知实数列a0，a1，a2，…，满足 ai－1+ai+1=2ai，(i=1，2，3，…) 求证：对于任何自然数n， P(x)=a0Cn(1-x)+a1Cnx(1-x)+a2Cnx(1-x)+…+an-1C是一次多项式．(本题应增加条件：a0≠a1) 2．(本题满分17分)已知锐角三角形ABC的外接圆半径为R，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，求证：AD，BE，CF是⊿ABC的三条高的充要条件是 0 n1 n-1 22 n-2 n－1n-1nx(1-x)+anCnxn nRS=(EF+FD+DE）． 2 式中S是三角形ABC的面积． 3．平面直角坐标系中，纵横坐标都是整数的点称为整点，请设计一种染色方法将所有的整点都染色，每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色，使得 ⑴ 每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上； ⑵ 对任意白色A、红点B和黑点C，总可以找到一个红点D，使得ABCD为一平行四边形． 证明你设计的方法符合上述要求． 1986年全国高中数学联赛解答 第一试 1．选择题(本题满分42分，每小题7分，每小题答对得7分，答错得0分不答得1分) ⑴ 设－1 y A．{x|2nπ+θ On∈Z} C．{x|(2n－1)π+θ ?1xn∈Z} 解：－<θ<0，在(－π，0)内满足sinx 2 ⑵ 设x为复数，M={z|(z－1)=|z－1|}，那么( ) A．M={纯虚数} B．M={实数} C．{实数} M {复数} D．M={复数} 2 2 π2 解：即(z－1)－(z－1)(－z－1)=0，(z－1)(z－－z)=0，z=1或z=－z，总之，z为实数．选B ⑶ 设实数a、b、c满足 ?a－bc－8a+7=0， ?22 ?b+c+bc－6a+6=0． 2 那么，a的取值范围是( ) A．(－∞，+∞) B．(－∞，1]∪[9，+∞) C．(0，7) D．[1，9] 解：①×3+②：b+c－2bc+3a－30a+27=0，(b－c)+3(a－1)(a－9)=0， 2 2 2 2 1≤a≤9．选D． b2+c2+2bc－a2+2a－1=0，(b+c)2=(a－1)2，b+c=a－1，或b+c=－a+1． ⑷ 如果四面体的每一个面都不是等腰三角形，那么其长度不等的棱的条数最少为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 解：取等腰四面体，其棱长至多2种长度．棱长少于3时，必出现等腰三角形．选A． ⑸ 平面上有一个点集和七个不同的圆C1，C2，…，C7，其中圆C7恰好经过M中的7个点，圆C6恰好经过M中的6个点，…，圆C1恰好经过M中的1个点，那么M中的点数最少为( ) A．11 B．12 C．21 D．28 解：首先，C7经过M中7个点，C6与C7至多2个公共点，故C6中至少另有4个M中的点，C5至少经过M中另外1个点，共有至少7+4+1=12个点． 1 ⑹ 边长为a、b、c的三角形，其面积等于，而外接圆半径为1，若 4111 s=a+b+c，t=++， abc则s与t的大小关系是 A．s>t B．s=t C．s 1abc1 解：△=absinC=，由R=1，△=，知abc=1．且三角形不是等边三角形． 24R4
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