1 傅里叶级数的起源
1753年，伯努利，提出了采用三角级数解弦振动方程的方法.1759年，拉格朗日，在给达朗贝尔的信中称x可以表示为三角级数.1777年，欧拉在研究天文问题时得到
a0??k?x? f?x????akcos?（1） ?
2k?1?l?32?0,m?n?llm?xn?x?coscosdx??,m?n?0 ?0ll?2??l,m?n?0因此推出了 ak?观察此式的结果可知：
（1）除了因缺少正弦项而只能表示周期为l的偶函数，欧拉得到的三角级数与今天我们使用的傅里叶级数已经没有区别.
（2）欧拉推出级数系数的方法运用三角函数的正交性，这正是现在“信号与系统”课程在推导傅里叶系数公式时所采取的方法.
尽管欧拉已经得到了类似傅里叶级数的表达式，他所采取的推导级数系数的方法我们今天仍在使用.然而，他与拉格朗日及达朗贝尔却始终坚持这样的观点：并非是任意的周期函数都可以表示为三角函数.
十九世纪，傅里叶迈出了重要的一步.傅里叶像他同时代的科学家一样，也从事热传导的研究.他在解如下偏微分方程：
2l?k?x?fxcos????dx， ?0l?l??2T?2T?2T2?T ???a?x2?y2?z2?t时得到，初始条件T?x,0??f?x?必须有
?k?x?f?x???bksin??
l??k?1?于是，傅里叶面临这样的问题：f?x?能表示成三角级数吗？特别是bk能确定吗？不
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妨取l??，上式简化为
f?x???bksinkx
k?1?傅里叶把等式左边f?x?和右边的sinkx展开为幂级数，经过并不严格的推导得到
bk?2??f?x?sinkxdx
0?傅里叶敏锐的观察到，bk???2?0f?x?sinkxdx就是函数
2?f?x?sinkx在区间?0,??上的面积，而计算面积对相当广泛的函数都有意义.因此他得出结论：每一个周期函数都可表示为
f?x???bksinkx，0?x??
k?1?然而，这个结论却不为当时大多数科学家接受，傅里叶仍坚信自己的结论.随后他得到了更精确的结论，即对于任意周期函数，在周期区间???,??上都可以表示为
a0? f?x????(akcoskx?bksinkx),???x?? （2）
2k?1傅里叶从没有给出“任意”函数可以这样表示的一个完全的证明，也没有说出一个函数可以展开为三角级数所必须满足的条件，但他对此是坚信的.1807年，傅里叶提交的论文被巴黎科学院拒绝了，论文评委之一的Lagrange坚决否认周期函数可以展开为三角级数，并批评了该论文缺乏严密性.事实上，傅里叶始终没有能在他的论文中对傅里叶级数理论做出严格的证明.经过15年的抗争，直到拉格朗日离世9年后的1822年，他终于出版了专著《热的解析理论》，直到此时人们才勉强地承认他的思想.
我们可以列出傅里叶在方法上存在的缺陷.比如傅里叶在求级数系数时采用的方法不够严密，并且比欧拉所采用的运用三角函数的正交性质的方法要复杂得多.尽管存在一些缺陷，傅里叶得到了正确的结论.傅里叶的结论展示了强大的生命力，对数学的发展也产生了深远的影响，这是傅里叶本人及其同时代人都难以预料到的，而且这种影响至今还在发展之中.
（1）傅里叶级数促进了偏微分方程理论的发展，成功的解决了关于弦振动问题
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的解的争论；
（2）傅里叶级数促进了函数概念的发展，傅里叶级数理论的先驱者们认为函数必须由一个解析表达式表示；
（3）傅里叶级数标志人们从解析函数或可发展成泰勒级数的函数中解放出来.泰勒级数仅在函数的解析点附近表示该函数，而傅里叶级数在一整段上表示一个函数.
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2 傅里叶级数的严密化
随着数学思想的进步，傅里叶的成就在后来赢得了广泛的赞许.但严格地讲并不是任意周期函数的傅里叶级数都收敛.关于收敛条件和收敛证明问题的研究，后继者柯西和泊松的努力没有结果，代表性的成果是狄利克雷和黎曼做出的.
2.1 狄利克雷条件
狄利克雷在1822年至1825年间在巴黎几次会见傅里叶之后，对傅里叶级数产生了兴趣.1829年他在论文《关于三角级数的收敛性》中给定并证明了：当f?x?满足下列条件时其傅里叶级数是收敛的，这就是狄利克雷条件：
（1）f?x?是单值有界的；
（2）f?x?是分段连续的，即在一个周期内只有有限多个间断点； （3）f?x?是分段单调的，即在一个周期内只有有限多个极值点.
今天的教科书中，条件（1）已放宽为绝对可积，使得工程上所遇到的绝大多数函数都满足狄利克雷条件.条件（2）和（3）排除了无穷间断点和无穷振荡的情形.
狄利克雷迈开了傅里叶级数严密化的坚实的第一步，以致黎曼尊称他为傅里叶级数理论的真正奠基者.关于傅里叶级数收敛性的研究持续到今天有很多结果，但狄利克雷条件在今天“信号与系统”教科书中使用最为广泛.
2.2 黎曼引理
黎曼曾在狄利克雷指导下研究傅里叶级数.1854年他在论文《用三角级数表示函数》中证明了：如果f?x?在周期???,??上有界可积，则有
|k|??limak?0,limbk?0,
|k|??其中， ak?1???f?x?coskxdx,
??5
bk?1???f?x?sinkxdx
??这就是黎曼引理.进一步将定理有界可积条件放宽为勒贝格绝对可积，该定理称为黎曼—勒贝格引理.黎曼同时还证明了f?x?在一点的收敛特性只依赖于f?x?在该点邻域中的特性.
黎曼—勒贝格引理是证明傅里叶级数收敛性的重要工具.1880年迪尼，给出了另一个傅里叶级数收敛的充分条件：满足科普希茨条件的函数f?x?其傅里叶级数收敛.对该定理的证明就采取了黎曼—勒贝格引理.
2.3 吉布斯现象与一致收敛
1881年约当条件给出了另一个傅里叶级数收敛的充分条件：有界变差函数f?x?的傅里叶级数收敛于
f?x?0??f?x?0?.
21898年，吉布斯发表文章证明了有界变差函数的傅里叶级数在间断点的振荡规律，因此这一现象称为吉布斯现象.这一现象展示了傅里叶级数在间断点收敛的不一致性.
记f?x?的傅里叶级数的部分和为SN?x?，级数在x0收敛的定义为：
N??limSN?x??f?x?；
x??级数在周期T上的一致收敛的定义为：limmaxf?x??SN?x?.关于函数f?x?的傅
x?T??里叶级数一致收敛的一个充分条件是：f?x?在一个周期上满足一致科普希茨条件.
2.4 连续傅里叶级数的收敛性
在狄利克雷的研究工作之后的约50年间，人们相信任何连续周期函数的傅里叶级数都收敛到该函数.然而在1873年雷蒙德给出了一个连续函数，其傅里叶级数在一点发散.
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傅里叶级数及其应用.
